L2 上のユニタリ作用素として
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/23 08:07 UTC 版)
「メリン変換」の記事における「L2 上のユニタリ作用素として」の解説
ヒルベルト空間の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。 L 2 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle L^{2}(0,\infty )} （Lp空間を参照されたい）の関数に対して、基本帯（fundamental strip）は常に 1 2 + i R {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} } を含む。そのため、線形作用素 M ~ {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}} を M ~ : L 2 ( 0 , ∞ ) → L 2 ( − ∞ , ∞ ) , { M ~ f } ( s ) := 1 2 π ∫ 0 ∞ x − 1 2 + i s f ( x ) d x {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx} によって定義することが出来る。言い換えると、集合 { M ~ f } ( s ) := 1 2 π { M f } ( 1 2 − i s ) {\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}-is)} を定義することが出来る。この作用素は通常 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために M ~ {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}} を記号として用いる。このときメリン逆定理（英語版）により、 M ~ {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}} は可逆であって、その逆は M ~ − 1 : L 2 ( − ∞ , ∞ ) → L 2 ( 0 , ∞ ) , { M ~ − 1 φ } ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ x − 1 2 − i s φ ( s ) d s {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds} と得られることが分かる。さらにこの作用素は等長であること、すなわち ‖ M ~ f ‖ L 2 ( − ∞ , ∞ ) = ‖ f ‖ L 2 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}} がすべての f ∈ L 2 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle f\in L^{2}(0,\infty )} に対して成立することが分かる（この性質のために係数 1 / 2 π {\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}} が用いられている）。したがって、 M ~ {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}} はユニタリ作用素である。
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