留数計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/03 01:42 UTC 版)
解析函数 f(z) はその孤立特異点 z = a の周りでローラン展開 f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n ( z − a ) n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}} を持つ。これは、γ を含み z = a を中心とする適当な円環領域上で一様収束するから、γ 上項別積分可能で ∮ γ f ( z ) d z = ∑ n = − ∞ ∞ a n ∮ γ ( z − a ) n d z {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z){\mathit {dz}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\oint _{\gamma }(z-a)^{n}{\mathit {dz}}} となるが、コーシーの積分定理によりほとんどの項は消えて a − 1 = Res z = a f ( z ) {\displaystyle a_{-1}=\operatorname {Res} \limits _{z=a}\,f(z)} となることがわかる。同様に、無限遠点 z = ∞ における留数は、g(ζ) := f(1/ζ) の ζ に関するローラン展開が g ( ζ ) = ∑ n = − ∞ ∞ b n ζ n {\displaystyle g(\zeta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}\zeta ^{n}} で与えられるならば、Resz=∞ −b−1 を得る。ゆえに、ローラン展開が既知あるいは容易に計算することのできる函数については、積分を計算することなく直ちに留数を求めることができる。また、孤立特異点 z = a が f(z) の n-位の極であるなら、(z − a)nf(z) は正則で、とくに ( z − a ) n f ( z ) = ∑ k = 0 ∞ a k − n ( z − a ) k {\displaystyle (z-a)^{n}f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k-n}(z-a)^{k}} とテイラー展開されるので、 a − 1 = 1 ( n − 1 ) ! lim z → a d n − 1 d z n − 1 [ ( z − a ) n f ( z ) ] {\displaystyle a_{-1}={1 \over (n-1)!}\lim _{z\to a}{\frac {d^{n-1}}{{\mathit {dz}}^{n-1}}}[(z-a)^{n}f(z)]} と計算することができる。
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