滑らかな関数の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 02:36 UTC 版)
「ルジャンドル変換」の記事における「滑らかな関数の例」の解説
最も簡単な例として特異性のない関数を挙げる。定数 s > 1 に対して f ( x ) = x s / s , x > 0 {\displaystyle f(x)=x^{s}/s,\quad x>0} とする。この f は下に凸かつ十分滑らかである。ルジャンドル変換は f ∗ ( p ) = p t / t , p > 0 {\displaystyle f^{*}(p)=p^{t}/t,\quad p>0} となる。ただし t は 1/s + 1/t = 1 を満たす定数である。この例では f (x) と f *(p) は対称な形となる。特に s = t = 2 の場合、f (x) = x2/2 はルジャンドル変換で形を変えない。
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