滑らかな無限小解析の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/21 17:50 UTC 版)
「積の微分法則」の記事における「滑らかな無限小解析の場合」の解説
ローヴェアの無限小（滑らかな無限小解析を参照）の意味で、dx を複零（自乗して 0 になる）無限小とする。このとき、du = u'dx および dv = v'dx で, d ( u v ) = ( u + d u ) ( v + d v ) − u v = u v + u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v − u v = u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v = u ⋅ d v + v ⋅ d u {\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&{}=(u+du)(v+dv)-uv\\&{}=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du\end{aligned}}} と計算できる。 d u ⋅ d v = u ′ v ′ ( d x ) 2 = 0 {\displaystyle du\cdot dv=u'v'(dx)^{2}=0} に注意せよ。
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