導函数と原始函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/26 14:07 UTC 版)
冪函数は区間 (0, +∞) 上で常に微分可能で、その導函数は f a ′ ( x ) = a x a − 1 {\displaystyle f_{a}'(x)=ax^{a-1}} によって与えられる。従って、冪指数が −1 でなければ、同じ区間上で常に原始函数が存在して、その一つが F a ( x ) := x a + 1 a + 1 {\displaystyle F_{a}(x):={\frac {x^{a+1}}{a+1}}} で与えられる。a = −1 のときは、自然対数が原始函数として生じる。
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導函数と原始函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/21 02:42 UTC 版)
「形式微分」も参照 通常の微分法則（英語版）に従って、実多項式函数 f : x ↦ a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle f:x\mapsto a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}} の微分は多項式函数 f ′ ( x ) = n a n x n − 1 + ( n − 1 ) a n − 1 x n − 2 + ⋯ + 2 a 2 x + a 1 {\displaystyle f'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dotsb +2a_{2}x+a_{1}} で与えられる。この計算の逆として、あるいは通常の積分法則により、f の原始函数は x ↦ a n x n + 1 n + 1 + a n − 1 x n n + … + a 1 x 2 2 + a 0 x + C {\displaystyle x\mapsto a_{n}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+a_{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+\ldots +a_{1}{\frac {x^{2}}{2}}+a_{0}x+C} （C は積分定数）なる形の多項式函数で与えられることがわかる。
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