垂直ひずみ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/11 08:32 UTC 版)
フックの法則に従う等方性材料は、垂直応力により垂直ひずみが生じる。 面積が dx × dy の2次元微小矩形材料要素を考える。これは変形後にひし形になる。図より、 l e n g t h ( A B ) = d x , {\displaystyle \mathrm {length} (AB)=dx,\,} l e n g t h ( a b ) = ( d x + ∂ u x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d x ) 2 = d x 1 + 2 ∂ u x ∂ x + ( ∂ u x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}\,\!} 変位勾配が微小であることを仮定すると、導関数の2乗の項は無視できる。 l e n g t h ( a b ) ≈ d x + ∂ u x ∂ x d x {\displaystyle \mathrm {length} (ab)\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx} 矩形要素のx軸方向垂直ひずみは、以下の式で定義される。 ε x = extension original length = l e n g t h ( a b ) − l e n g t h ( A B ) l e n g t h ( A B ) = ∂ u x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}} 同様に、y軸方向、z軸方向の垂直ひずみは、以下のようになる。 ε y = ∂ u y ∂ y , ε z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}},\quad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\,\!}
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