回転対称性からみた交換関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/13 15:13 UTC 版)
「軌道角運動量」の記事における「回転対称性からみた交換関係」の解説
Rn(s) の微分を計算すると、 d R ( s ) d s | s = 0 = ( 0 − z y z 0 − x − y x 0 ) =: F n {\displaystyle \left.{\operatorname {d} R(s) \over \operatorname {d} s}\right|_{s=0}={\begin{pmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{pmatrix}}=:F_{\boldsymbol {n}}} となる。関数 λ* を、 λ ∗ ( d R ( s ) d s | s = 0 ) ( ψ ) = d d s λ ( R ( s ) ) ( ψ ) | s = 0 {\displaystyle \lambda _{*}\left(\left.{\operatorname {d} R(s) \over \operatorname {d} s}\right|_{s=0}\right)(\psi )=\left.{\operatorname {d} \over \operatorname {d} s}\lambda (R(s))(\psi )\right|_{s=0}} が任意の波動関数 ψ と SO(3) に値を取る任意の R(θ) に対して成立するよう定義する（詳細は省くがこのような関数はwell-definedに定義可能である）と、 λ ∗ ( [ F , G ] ) = [ λ ∗ ( F ) , λ ∗ ( G ) ] {\displaystyle \lambda _{*}([F,G])=[\lambda _{*}(F),\lambda _{*}(G)]} が成立する事が知られている。よって [ L ^ x , L ^ y ] = ( i ℏ ) 2 λ ∗ ( F ( 1 , 0 , 0 ) ) , λ ∗ ( F ( 0 , 1 , 0 ) ) ] = ( i ℏ ) 2 λ ∗ ( [ F ( 1 , 0 , 0 ) , F ( 0 , 1 , 0 ) ] ) {\displaystyle \left[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}\right]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}(F_{(1,0,0)}),\lambda _{*}(F_{(0,1,0)})]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}([F_{(1,0,0)},F_{(0,1,0)}])} すなわち軌道角運動量の交換関係は、Fn の交換関係から導かれたものである。 Fnは以下を満たす事が知られている:p36。ここで「×」はクロス積である： [ F x , F y ] = F x × y {\displaystyle [F_{\boldsymbol {x}},F_{\boldsymbol {y}}]=F_{{\boldsymbol {x}}\times {\boldsymbol {y}}}} よって軌道角運動量の交換関係は [ L ^ x , L ^ y ] = ( i ℏ ) 2 λ ∗ ( [ F ( 1 , 0 , 0 ) , F ( 0 , 1 , 0 ) ] ) = ( i ℏ ) 2 λ ∗ ( F ( 1 , 0 , 0 ) × ( 0 , 1 , 0 ) ) = i ℏ ⋅ i ℏ λ ∗ ( F ( 0 , 0 , 1 ) ) = i ℏ L ^ z {\displaystyle \left[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}\right]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}([F_{(1,0,0)},F_{(0,1,0)}])=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}(F_{(1,0,0)\times (0,1,0)})=i\hbar \cdot i\hbar \lambda _{*}(F_{(0,0,1)})=i\hbar {\hat {L}}_{z}} である。これは前の節で述べた交換関係と一致する。他の軸に関する軌道角運動量の交換関係も同様にして求めることができる。
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