反復的構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/31 10:22 UTC 版)
単位区間 [0, 1] における関数列 { f n } n = 0 ∞ {\displaystyle \{f_{n}\}_{n=0}^{\infty }} を次のように帰納的に定義すると、これはカントール関数に収束する。 f 0 ( x ) = x {\displaystyle f_{0}(x)=x} f n + 1 ( x ) = { 1 2 × f n ( 3 x ) if 0 ≤ x < 1 3 1 2 if 1 3 ≤ x < 2 3 1 2 + 1 2 × f n ( 3 x − 2 ) if 2 3 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle f_{n+1}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\times f_{n}(3x)&{\mbox{if }}0\leq x<{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}{\frac {1}{3}}\leq x<{\frac {2}{3}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\times f_{n}(3x-2)&{\mbox{if }}{\frac {2}{3}}\leq x\leq 1\end{cases}}} 各 n に対し fn(0) = 0, fn(1) = 1 であるから、f は x=1/3, 2/3 において連続である。ここで、n ≥ 1 において max x ∈ [ 0 , 1 ] | f n + 1 ( x ) − f n ( x ) | ≤ 1 2 max x ∈ [ 0 , 1 ] | f n ( x ) − f n − 1 ( x ) | {\displaystyle \max _{x\in [0,1]}|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)|\leq {\frac {1}{2}}\max _{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f_{n-1}(x)|} すなわち max x ∈ [ 0 , 1 ] | f n + 1 ( x ) − f n ( x ) | ≤ 2 − n max x ∈ [ 0 , 1 ] | f 1 ( x ) − f 0 ( x ) | {\displaystyle \max _{x\in [0,1]}|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)|\leq 2^{-n}\max _{x\in [0,1]}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|} が成り立つ。よって、各 x ∈ [0, 1] と m> n ≥ 1 について次式が成り立つ。 | f m ( x ) − f n ( x ) | = ∑ i = n m − 1 | f i + 1 ( x ) − f i ( x ) | ≤ ∑ i = n ∞ 2 − i max x ∈ [ 0 , 1 ] | f 1 ( x ) − f 0 ( x ) | = 2 − n + 1 max x ∈ [ 0 , 1 ] | f 1 ( x ) − f 0 ( x ) | {\displaystyle |f_{m}(x)-f_{n}(x)|=\sum _{i=n}^{m-1}|f_{i+1}(x)-f_{i}(x)|\leq \sum _{i=n}^{\infty }2^{-i}\max _{x\in [0,1]}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|=2^{-n+1}\max _{x\in [0,1]}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|} 従って数列 { f n ( x ) } n = 0 ∞ {\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }} はコーシー列であるから、極限値 f(x) を持つ（各点収束）。更に、上の式で m → ∞ とすることで | f ( x ) − f n ( x ) | < 2 − n + 1 max x ∈ [ 0 , 1 ] | f 1 ( x ) − f 0 ( x ) | {\displaystyle |f(x)-f_{n}(x)|<2^{-n+1}\max _{x\in [0,1]}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|} が得られる。これは関数列が f に一様収束することを意味する。 なお、ここでは初期関数として f0(x) = x を用いたが、実際には f0(0) = 0, f0(1) = 1 なる有界関数でさえあれば何でも構わない。
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