中線定理と極化公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:23 UTC 版)
「ヒルベルト空間」の記事における「中線定理と極化公式」の解説
定義から、任意のヒルベルト空間はバナッハ空間であり、さらに中線定理 ‖ u + v ‖ 2 + ‖ u − v ‖ 2 = 2 ( ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 ) {\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2(\|u\|^{2}+\|v\|^{2})} も成立する。逆に中線定理が成り立つような任意のバナッハ空間はヒルベルト空間になり、その内積は極化恒等式によってノルムから一意的に定まる。実ヒルベルト空間における極化恒等式は ⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) {\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{4}}(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2})} であり、複素ヒルベルト空間の場合は ⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 + i ‖ u + i v ‖ 2 − i ‖ u − i v ‖ 2 ) {\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{4}}(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2})} で与えられる。中線定理は、任意のヒルベルト空間が一様凸バナッハ空間となることを示している。
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