一変数複素関数のテイラー展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/14 15:34 UTC 版)
「テイラー展開」の記事における「一変数複素関数のテイラー展開」の解説
点 a を含む開集合 D ⊆ C 上で微分可能、すなわち正則な複素関数 f が与えられたとき、べき級数 ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( z − a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}} を関数 f の点 a まわりのテイラー級数という。正則関数の解析性から、点 a を中心として D に包含されるような任意の開円板 B(a,r) = { z ∈ C | |z − a| < r } ⊆ D 上でこの級数は f (a) に収束する。 剰余項 Rn は複素線積分を用いて、次のように表せる： R n ( z ) = ( z − a ) n [ n ! 2 π i ∫ C f ( w ) ( w − a ) n − 1 ( w − z ) d w ] {\displaystyle R_{n}(z)=(z-a)^{n}\left[{\frac {n!}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(w)}{(w-a)^{n-1}(w-z)}}\mathrm {d} w\right]} ここで C は、点 a を囲み、周および内部が D に含まれるような反時計回りの円周である。
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