ラドン＝ニコディムの定理との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/15 05:29 UTC 版)
「フロイデンタールのスペクトル定理」の記事における「ラドン＝ニコディムの定理との関係」の解説
( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} を測度空間とし、 M σ {\displaystyle M_{\sigma }} を ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 上の符号付 σ {\displaystyle \sigma } -加法的測度の実空間とする。 M σ {\displaystyle M_{\sigma }} は全変動ノルム（英語版）を備えるデデキント完備なバナッハ束であり、したがって主射影性を持つことが示される。任意の正測度 μ {\displaystyle \mu } に対し、上述のように定義される μ {\displaystyle \mu } -単関数は、 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 上の μ {\displaystyle \mu } -可測単関数と（通常の意味で）ちょうど対応することが示される。さらに、フロイデンタールのスペクトル定理より、 μ {\displaystyle \mu } によって生成される帯（band）内の任意の測度 ν {\displaystyle \nu } は ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 上の μ {\displaystyle \mu } -可測単関数によって下から単調な方法で近似されるため、ルベーグの単調収束定理より、 ν {\displaystyle \nu } はある L 1 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu )} 関数に対応し、 μ {\displaystyle \mu } によって生成される帯とバナッハ束 L 1 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu )} の間の等長束同型を構成することが示される。
※この「ラドン＝ニコディムの定理との関係」の解説は、「フロイデンタールのスペクトル定理」の解説の一部です。
「ラドン＝ニコディムの定理との関係」を含む「フロイデンタールのスペクトル定理」の記事については、「フロイデンタールのスペクトル定理」の概要を参照ください。
- ラドン＝ニコディムの定理との関係のページへのリンク
