シュワルツの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/29 04:39 UTC 版)
解析学において、シュワルツの定理(英: Schwarz' theorem)またはクレローの定理(英: Clairaut's theorem)とは、ヘルマン・シュワルツ (Hermann Schwarz) とアレクシス・クレロー (Alexis Clairaut) に因む定理で、次のことを述べる: f : R n → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } が Rn 上の与えられた任意の点 (a1, ..., an) で連続な二階偏導関数を持つなら、それらの偏導関数は以下の関係を満たす。 ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j ( a 1 , … , a n ) = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i ( a 1 , … , a n ) ∀ i , j ∈ { 1 , 2 , … , n } . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n})\qquad \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}.\,\!} すなわち、この関数の偏微分は点 (a1, ..., an) で可換(英語版)である。(n = 2, i = 1, j = 2 の場合に、これから直ちに一般の結果が従うが)この定理を証明する簡単な方法として、1 つにはグリーンの定理を f の勾配に適用する方法がある。
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