サイクルと境界輪体が定めるフィルトレーション
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/19 09:14 UTC 版)
「スペクトル系列」の記事における「サイクルと境界輪体が定めるフィルトレーション」の解説
Er をスペクトル系列で、例えば r = 1 から始まるものとする。このとき、部分対象の列 0 = B 0 ⊂ B 1 ⊂ B 2 ⊂ ⋯ ⊂ B r ⊂ ⋯ ⊂ Z r ⊂ ⋯ ⊂ Z 2 ⊂ Z 1 ⊂ Z 0 = E 1 {\displaystyle 0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{1}} が存在し、 E r ≃ Z r − 1 / B r − 1 {\displaystyle E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1}} が成り立つ。実際、 Z 0 = E 1 , B 0 = 0 {\displaystyle Z_{0}=E_{1},B_{0}=0} と定義し、 Z r , B r {\displaystyle Z_{r},B_{r}} を E r → d r E r {\displaystyle E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}} の核と像が Z r / B r − 1 , B r / B r − 1 {\displaystyle Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1}} となるように再帰的に定めればよい。 次に Z ∞ = ∩ r Z r , B ∞ = ∪ r B r {\displaystyle Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}} と置き、 E ∞ = Z ∞ / B ∞ {\displaystyle E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }} と置く。これは極限項と呼ばれている。（もちろん、圏によってはそのような E ∞ {\displaystyle E_{\infty }} は存在しないこともあるが、例えば加群の圏ではそのような極限は存在するし、また現実のスペクトル系列は退化することが多く、その場合には先程の列で有限個の包含関係しか起こらないので、通常このことは問題とならない。）
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