3つの立方数の和 3つの立方数の和の概要

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3つの立方数の和

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/11 03:02 UTC 版)

片対数グラフ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle 0\leq n\leq 100}$. Green bands denote values of ${\displaystyle n}$ proven not to have a solution.

${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$

${\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}$

任意のnに対して、条件を満たす解${\displaystyle x,y,z}$の組を求める問題は、1950年代にルイス・モーデルによって考え出された^[1]。いくつかのnに対する解の探索には長い時間がかかっていたが^[2]、MITなどの研究グループにより短期間で求める手法が見出され、あるnに対する解となる組は無限に存在するはずだと推測されている^[3]。 なお、nの値について、9を法として4, 5 に合同な値を除外する条件が付けられているのは、そのようなnが存在し得ないからである。このことは、 全ての立方数は9を法として0, 1, 8 のいずれかに合同となることより、簡単に確認できる。同様に、4つの立方数の和と問題を拡張した場合は、この除外条件は不要となる。^[要出典]