ループのアイソトピー

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/19 17:24 UTC 版)

ループの疑似自己同型

L をループ、c を L の元とする。 L の全単射 α は任意の x, y に対して、下記の恒等式を満たすこ時、c を コンパニオン要素 とする右疑似同型 (英: right pseudo-automorphism of L with companion element c)^{[訳語疑問点]} と呼ばれる：

\alpha (xy)c=\alpha (x)(\alpha (y)c)

同様に、左疑似同型 (英: left pseudo-automorphisms) も定義される。

ユニバーサル性

ループについてのある性質 P が ユニバーサル (普遍的、英: universal) であるとは、その性質が、アイソトピー不変であることと定義される。すなわち、ループ L においてある性質 P が成り立つか否かと、L のイソトープなループでも同様に性質 P が成り立つか否かが一致していることである。明らかに、L の主アイソトープについて P が成り立つかどうかをチェックすれば十分である。^{[要検証 – ノート]}

例として、可換ループのアイソトープは、必ずしも可換とは限らないので、可換性はユニバーサルではない。しかし、別の例として、結合性はユニバーサルである。アーベル群であるという性質もユニバーサルな性質である^{[要検証 – ノート]}。実際、任意の群は、G-loop である ^{[要検証 – ノート]}。

アイソトピーの幾何学的実行

与えられたループ L に対して、3-net と呼ばれる入社幾何（英語版）学的構造を定義することができる。逆に、原点と直線クラスの順序^{[訳語疑問点]} を固定すると、3-net はループを発生させる。別の原点を選択したり、直線クラスを交換したりすると、非同型座標のループが発生する可能性もある ^{[原文 5]}。しかしながら、座標ループ^{[訳語疑問点]} は常にアイソトピックである。言い換えると、二つのループがアイソトピックであるのは、幾何学的な観点から同値であるとき、またその時に限る^{[原文 6]}。

代数学と幾何学の概念の間の対応は下記の通りである。

ループのオートトピーの成す群は、3-net の共線変換（英語版）を保存する群の方向^{[訳語疑問点]} に対応 ^{[原文 7]}
疑似自己同型は、座標系の二つの軸を固定する共線変換に対応。
コンパニオン要素の集合は、共線変換群における軸のスタビライザの軌道に対応^{[原文 8]}。
ループが G-loop である iff. 共線変換の群の作用が 3-net の点の集合に推移的に作用するとき、またその時に限る。
性質 P がユニバーサルである iff. 原点の選択に依存しない ^{[原文 9]}。

脚注

注釈

^ 未訳: based on his slightly earlier definition of isotopy for algebras, which was in turn inspired by work of Steenrod.
^ The set of all autotopies of a quasigroup form a group with the automorphism group as a subgroup.
^ 原文: In this case the underlying sets of the quasigroups must be the same but the multiplications may differ.
^ 原文: A loop L is a G-loop if it is isomorphic to all its loop isotopes.
^ 原文: Choosing a different origin or exchanging the line classes may result in nonisomorphic coordinate loops.
^ 原文: In other words, two loops are isotopic if and only if they are equivalent from geometric point of view.
^ 原文: The group of autotopism of the loop corresponds to the group direction preserving collineations of the 3-net.
^ 原文: The set of companion elements is the orbit of the stabilizer of the axis in the collineation group.
^ 原文: The property P is universal if and only if it is independent on the choice of the origin

訳注

^ Then it is the product of the principal isotopy $(\alpha _{0},\beta _{0},id)$ from $(L,\cdot )$ and $(L,*)$ and the isomorphism $\gamma$ between $(L,*)$ and $(K,\circ )$ .