Duの構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
U∈Spin(3)に対し、 ( D 1 / 2 ) ⊗ 2 u ( U ) : W 1 / 2 ⊗ 2 u → W 1 / 2 ⊗ 2 u {\displaystyle (D^{1/2})^{\otimes 2u}(U)~:~W_{1/2}{}^{\otimes 2u}\to W_{1/2}{}^{\otimes 2u}} を ∑ j ϕ j , 1 ⊗ ⋯ ⊗ ϕ j , 2 u {\displaystyle \sum _{j}\phi _{j,1}\otimes \cdots \otimes \phi _{j,2u}} ↦ ∑ j D 1 / 2 ( U ) ( ϕ j , 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ D 1 / 2 ( U ) ( ϕ j , 2 u ) {\displaystyle \mapsto \sum _{j}D^{1/2}(U)(\phi _{j,1})\otimes \cdots \otimes D^{1/2}(U)(\phi _{j,2u})} により定義すると、 ( D 1 / 2 ) ⊗ 2 u ( U ) {\displaystyle (D^{1/2})^{\otimes 2u}(U)} は W 1 / 2 ⊗ 2 u {\displaystyle W_{1/2}{}^{\otimes 2u}} 上の内積を保つ線形写像である。明らかに ( D 1 / 2 ) ⊗ 2 u ( U ) {\displaystyle (D^{1/2})^{\otimes 2u}(U)} は対称テンソルを対称テンソルに移すので、 ( D 1 / 2 ) ⊗ 2 u ( U ) {\displaystyle (D^{1/2})^{\otimes 2u}(U)} の W u = W 1 / 2 ⊙ 2 u {\displaystyle W_{u}=W_{1/2}{}^{\odot 2u}} への制限写像を、 D u ( U ) = ( D 1 / 2 ) ⊗ 2 u ( U ) ( U ) | W u {\displaystyle D^{u}(U)=(D^{1/2})^{\otimes 2u}(U)(U)|_{W_{u}}} …(N1) と定義する。 D u ( U ) {\displaystyle D^{u}(U)} は内積を保つので、これは D u ( U ) ∈ U ( W u ) {\displaystyle D^{u}(U)\in {\mathsf {U}}(W_{u})} を意味する。この写像が、求めるべき既約ユニタリ表現である:p25-27。
※この「Duの構成」の解説は、「スピン角運動量」の解説の一部です。
「Duの構成」を含む「スピン角運動量」の記事については、「スピン角運動量」の概要を参照ください。
- Duの構成のページへのリンク
