B-スプライン曲線 B-スプライン曲線の概要

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B-スプライン曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/02 07:14 UTC 版)

B-スプライン曲線と制御点の例

定義

制御点を $\mathbf {P} _{i}$ とすると、$n$ 次のB-スプライン曲線は

$\mathbf {S} (t)=\sum _{i=0}^{m-n-2}\mathbf {P} _{i}b_{i,n}(t)\ {\text{,}}\qquad t\in [t_{n},t_{m-n-1}]$.

と表される。制御点の個数は $m-n-1$ 個。ここで $t_{j}$ はノット（knot）と呼ばれる $m$ 個の実数（ベクトル）である。$t_{0}=0,t_{m-1}=1$ とすることが多い。

$t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{m-1}$

また $b_{i,n}(t)$ はB-スプライン基底関数（B-spline basis function）と呼ばれ、de Boor Coxの漸化式 によって次のように定義される。

$b_{j,0}(t):=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{if}}\quad t_{j}\leq t<t_{j+1}\\0&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.,\qquad j=0,\ldots ,m{-}2$

$b_{j,k}(t):={\frac {t-t_{j}}{t_{j+k}-t_{j}}}b_{j,k-1}(t)+{\frac {t_{j+k+1}-t}{t_{j+k+1}-t_{j+1}}}b_{j+1,k-1}(t),\qquad j=0,\ldots ,m{-}k{-}2.$

B-スプライン曲面

$u$ 方向に $n_{u}$ 次で $v$ 方向に $n_{v}$ 次のB-スプライン曲面（B-spline surface）は以下のように表される。

$\mathbf {S} (u,v)=\sum _{i_{u}=0}^{m_{u}-n_{u}-2}\sum _{i_{v}=0}^{m_{v}-n_{v}-2}\mathbf {P} _{i_{u},i_{v}}b_{i_{u},n_{u}}(u)b_{i_{v},n_{v}}(v)\ {\text{,}}\qquad u\in [u_{n_{u}},u_{m_{u}-n_{u}-1}],\ v\in [v_{n_{v}},v_{m_{v}-n_{v}-1}]$.

ノットや基底関数は曲線と同じ。制御点の個数は $(m_{u}-n_{u}-1)(m_{v}-n_{v}-1)$ 個。

ベジェ曲線との関係性

n次B-スプライン曲線は、以下のように制限するとn次ベジェ曲線と同一の式になる。つまりベジェ曲線はB-スプライン曲線の特殊な場合である。

• 制御点の数は $n+1$ 個。よってノットの数は $m=2(n+1)$ 個。
• t が 0 から 1 まで変化するとし、ノットは $t_{j}=0\ {\mbox{for}}\ j\leq n$ および $t_{j}=1\ {\mbox{for}}\ j>n$ 。