リースの拡張定理 系：クレインの拡張定理

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リースの拡張定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/03/26 01:04 UTC 版)

系：クレインの拡張定理

E を実線型空間とし、K ⊂ E を凸錐とする。R x + K = E を満たすものとして x ∈ E/(−K) を定める。このとき、ある K-正線型汎函数 φ: E → R が存在して φ(x) > 0 となる。

ハーン＝バナッハの定理との関係

ハーン＝バナッハの定理は、リースの拡張定理より導出することが出来る。

V を線型空間とし、N を V 上の劣線型函数とする。φ は部分空間 U ⊂ V 上の汎函数で N によって支配されるもの、すなわち

$\phi (x)\leq N(x),\quad x\in U$

が成立するものとする。ハーン＝バナッハの定理では、この φ が N によって支配される V 上のある線型汎函数へ拡張できることが主張されている。

この事実をリースの拡張定理より導くために、凸錐 K ⊂ R×V を次のように定める。

$K=\left\{(a,x)\,\mid \,N(x)\leq a\right\}.$

R×U 上の汎函数 φ₁ を次で定める。

$\phi _{1}(a,x)=a-\phi (x).$

φ₁ は K-正であり、K + (R × U) = R × V となることが分かる。したがって φ₁ は R×V 上の K-正汎函数 ψ₁ に拡張することが出来る。このとき

$\psi (x)=-\psi _{1}(0,x)$

が求める φ の拡張である。実際、ψ(x) > N(x) であるなら (N(x), x) ∈ K が得られるが、これは

$\psi _{1}(N(x),x)=N(x)-\psi (x)<0$

となり、矛盾が生じる。