冪和公式とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

ファウルハーバーの公式

(冪和公式から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/03/26 01:53 UTC 版)

ファウルハーバーの公式（ファウルハーバーのこうしき、Faulhaber's formula）は、最初の n 個の k 乗数の和

^ 参考文献コンウェイ・ガイ『数の本』や MathWorld では「ファウルハーバーの公式」である。一方、日本では固有名詞のように呼ばれることは少なく、荒川・金子・伊吹山『ベルヌーイ数とゼータ関数』では「べき乗和の公式」である。
^ B₁ = 1/2 となるようにベルヌーイ数を定義する流儀と、B₁ = −1/2 となるように定義する流儀がある。ここでの定義は、関孝和と同様に前者である。MathWorld など、後者の流儀を採用している場合、冪乗和の公式も一見異なるもののように見えるかもしれないが、本質的に同じものである。
^ ニコマコスの主張は、1³ = 1, 2³ = 3 + 5, 3³ = 7 + 9 + 11, 4³ = 13 + 15 + 17 + 19, … ということ。これより例えば 1³ + 2³ + 3³ + 4³ は最初の (1 + 2 + 3 + 4) 個の奇数の和であるから (1 + 2 + 3 + 4)² に等しい。

「ファウルハーバーの公式」の続きの解説一覧

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:33 UTC 版)

「ベルヌーイ多項式」の記事における「冪和公式」の解説

p-乗和は、 ∑ k = 0 x k p = B p + 1 ( x + 1 ) − B p + 1 ( 0 ) p + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}} の様にかける(ただし00=1)。ファウルハーバーの公式も参照。

※この「冪和公式」の解説は、「ベルヌーイ多項式」の解説の一部です。
「冪和公式」を含む「ベルヌーイ多項式」の記事については、「ベルヌーイ多項式」の概要を参照ください。

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