コーシーの二項定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/29 05:14 UTC 版)
コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合である。 ∑ n = 0 N y n q n ( n + 1 ) / 2 [ N n ] q = ∏ k = 1 N ( 1 + y q k ) ( | q | < 1 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad (|q|<1)} [ N n ] q {\displaystyle {\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}} はq二項係数である。q二項定理に a=q − N , z=− q N + 1 y {\displaystyle a=q^{-N},z=-q^{N+1}y} を代入すると ∑ n=0 ∞ ( q − N ; q ) n ( q ; q ) n ( − q N + 1 y ) n=( − q y ; q ) ∞ ( − q N + 1 y ; q ) ∞ = ∏ k=0 ∞ 1 + y q 1 + k 1 + y q N + 1 + k {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(q^{-N};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-q^{N+1}y)^{n}={\frac {(-qy;q)_{\infty }}{(-q^{N+1}y;q)_{\infty }}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1+yq^{1+k}}{1+yq^{N+1+k}}}} となるが、左辺は n> N {\displaystyle n>N} で ( q − N ; q ) n = 0 {\displaystyle (q^{-N};q)_{n}=0} となり、右辺は k ≥ N {\displaystyle k{\geq }N} の分子が k − N {\displaystyle k-N} の分母を打ち消す。従って、 ∑ n = 0 N ( q − N ; q ) n ( q ; q ) n ( − q N + 1 y ) n = ∏ k = 0 N − 1 1 + y q 1 + k 1 + y q N + 1 + k = ∏ k = 1 N ( 1 + y q k ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}{\frac {(q^{-N};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-q^{N+1}y)^{n}=\prod _{k=0}^{N-1}{\frac {1+yq^{1+k}}{1+yq^{N+1+k}}}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)} である。左辺はqポッホハマー記号の変換式 ( a q − n + 1 ; q ) n = ( − a ) n q − n ( n − 1 ) / 2 ( a − 1 ; q ) n {\displaystyle (aq^{-n+1};q)_{n}=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left(a^{-1};q\right)_{n}} により、 ∑ n = 0 ∞ ( q − N ; q ) n ( q ; q ) n ( − q N + 1 y ) n = ∑ n = 0 ∞ ( q − N + n − 1 q − n + 1 ; q ) n ( q ; q ) n ( − 1 ) n q n ( N + 1 ) y n = ∑ n = 0 ∞ ( − q − N + n − 1 ) n q − n ( n − 1 ) / 2 ( q N − n + 1 ; q ) n ( q ; q ) n ( − 1 ) n q n ( N + 1 ) y n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n q − n ( N + 1 ) q n ( n + 1 ) / 2 ( q N − n + 1 ; q ) n ( q ; q ) n ( − 1 ) n q n ( N + 1 ) y n = ∑ n = 0 ∞ y n q n ( n + 1 ) / 2 ( q N − n + 1 ; q ) n ( q ; q ) n = ∑ n = 0 ∞ y n q n ( n + 1 ) / 2 ( q ; q ) N ( q ; q ) N − n ( q ; q ) n = ∑ n = 0 N y n q n ( n + 1 ) / 2 [ N n ] q {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(q^{-N};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-q^{N+1}y)^{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(q^{-N+n-1}q^{-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-1)^{n}q^{n(N+1)}y^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-q^{-N+n-1})^{n}q^{-n(n-1)/2}(q^{N-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-1)^{n}q^{n(N+1)}y^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{-n(N+1)}q^{n(n+1)/2}(q^{N-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-1)^{n}q^{n(N+1)}y^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {y^{n}q^{n(n+1)/2}(q^{N-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {y^{n}q^{n(n+1)/2}(q;q)_{N}}{(q;q)_{N-n}(q;q)_{n}}}\\&=\sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}\\\end{aligned}}} となる。
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