クリフォードスカラー積とは? わかりやすく解説

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クリフォードスカラー積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/09/06 10:18 UTC 版)

クリフォード代数」の記事における「クリフォードスカラー積」の解説

標数が 2 でないとき、V 上の二次形式 Q は Cℓ(V, Q) のすべての上の二次形式拡張することができる(これも Q によって表記する)。1 つそのような拡張基底依存しない定義は Q ( x ) = ⟨ t x x ⟩ {\displaystyle Q(x)=\langle {}^{t}\!xx\rangle } ただし ⟨ a ⟩ {\displaystyle \langle a\rangle } は a のスカラー部分(Z-次数付けにおいて次数 0 の部分)を表記する。 Q ( v 1 v 2v k ) = Q ( v 1 ) Q ( v 2 ) ⋯ Q ( v k ) {\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})} を示すことができる、ただし vi は V の元である – この恒等式Cℓ(V, Q) の任意の元に対して正しく「ない」。 Cℓ(V, Q) 上の伴う対称双線型形式は ⟨ x , y ⟩ = ⟨ t x y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle {}^{t}\!xy\rangle } によって与えられる。これは V に制限されたときにもとの双線型形式に戻ることを確認できるCℓ(V, Q) のすべての上の双線型形式非退化であることとそれが V 上非退化であることは同値である。 転置この内に関して左/右クリフォード乗法随伴であることを証明するのは難しくない。つまり、 ⟨ a x , y ⟩ = ⟨ x , t a y ⟩ , {\displaystyle \langle ax,y\rangle =\langle x,{}^{t}\!ay\rangle ,} および ⟨ x a , y ⟩ = ⟨ x , y t a ⟩ . {\displaystyle \langle xa,y\rangle =\langle x,y{}^{t}\!a\rangle .}

※この「クリフォードスカラー積」の解説は、「クリフォード代数」の解説の一部です。
「クリフォードスカラー積」を含む「クリフォード代数」の記事については、「クリフォード代数」の概要を参照ください。

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