シュルツ方式 例

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シュルツ方式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/11 08:57 UTC 版)

例

45人の投票者が5人の候補者 A, B, C, D, E を順位付けする下記の例を考えてみよう。

• 5 ACBED（5人の投票者がA > C > B > E > Dと選好することを表す。）
• 5 ADECB
• 8 BEDAC
• 3 CABED
• 7 CAEBD
• 2 CBADE
• 7 DCEBA
• 8 EBADC

初めにペアに関する選好を計算する。例えば A と B を比較すると、B より A を好む投票者が 5+5+3+7 = 20 人いて、A より B を好む投票者が 8+2+7+8 = 25 人いる。よって d[A,B] = 20, d[B,A] = 25 となる。ペアに関する選好の全体像は以下のようになる。

d[*, *] の値を辺に付した有向グラフ

ペアに関する選好の表

	d[*,A]	d[*,B]	d[*,C]	d[*,D]	d[*,E]
d[A,*]		20	26	30	22
d[B,*]	25		16	33	18
d[C,*]	19	29		17	24
d[D,*]	15	12	28		14
d[E,*]	23	27	21	31

右の図式は、最強の道を視覚的に把握しやすくしたもので、X から Y への矢印に d[X,Y] の値を付した有向グラフである。d[X,Y] > d[Y,X] ならば、d[Y,X] の値は選挙の結果に影響を与えないため、図には d[X,Y] の値のみ記す。

道の強さが辺の強さの最小値であることを思い出そう。例えば、B から D への最強の道は、強さ 33 の直接の道 (B,D) であり、よって p[B,D] = 33 である。比較のため、p[A,C] も見てみよう。直接の道 (A,C) の強さは 26 であるが、より強い道 (A,D,C) がある。その強さは d[A,D] = 30, d[D,C] = 28 の最小値 28 であり、ゆえに p[A,C] = 28 である。

下記の表では、最強の道を赤で示し、辺の強さの最小値に下線を引いている。

最強の道

	... Aに	... Bに	... Cに	... Dに	... Eに
Aから ...		A-(30)-D-(28)-C-(29)-B	A-(30)-D-(28)-C	A-(30)-D	A-(30)-D-(28)-C-(24)-E	Aから ...
Bから ...	B-(25)-A		B-(33)-D-(28)-C	B-(33)-D	B-(33)-D-(28)-C-(24)-E	Bから ...
Cから ...	C-(29)-B-(25)-A	C-(29)-B		C-(29)-B-(33)-D	C-(24)-E	Cから ...
Dから ...	D-(28)-C-(29)-B-(25)-A	D-(28)-C-(29)-B	D-(28)-C		D-(28)-C-(24)-E	Dから ...
Eから ...	E-(31)-D-(28)-C-(29)-B-(25)-A	E-(31)-D-(28)-C-(29)-B	E-(31)-D-(28)-C	E-(31)-D		Eから ...
	... Aに	... Bに	... Cに	... Dに	... Eに

最強の道の強さ

	p[*,A]	p[*,B]	p[*,C]	p[*,D]	p[*,E]
p[A,*]		28	28	30	24
p[B,*]	25		28	33	24
p[C,*]	25	29		29	24
p[D,*]	25	28	28		24
p[E,*]	25	28	28	31

これでシュルツ方式による結果を確定できる。例えば A と B を比較すると、28 = p[A,B] > p[B,A] = 25 であるので、シュルツ方式ではA候補者はB候補者より良い。別の例では、31 = p[E,D] > p[D,E] = 24 であるので、E候補者はD候補者より良い。同様にして全ての候補者を比較すると、E > A > C > B > D となり、E が当選との結果を得る。言い方を変えれば、E は他の全てのX候補者に対して p[E,X] > p[X,E] であるがゆえに当選した。