リー環のコホモロジー 小さい次元のコホモロジー

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リー環のコホモロジー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/20 14:30 UTC 版)

小さい次元のコホモロジー

0次コホモロジー群は（定義により）加群に作用するリー環の不変加群である：

$H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.$

1次コホモロジー群は内部微分の空間 Ider を法とした微分の空間 Der である：

$H^{1}({\mathfrak {g}};M)=\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)$

ただし微分はリー環から M への写像 d で

$d[x,y]=x\,dy-y\,dx~$

なるもので、それが内部微分とはそれがある a ∈ M で

$dx=xa~$

で与えられることをいう。

2次コホモロジー群

$H^{2}({\mathfrak {g}};M)$

はリー環の加群 M によるリー環の拡大

$0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0$

の同値類の空間である。

より高次のコホモロジー群に対しては同様の易しい解釈は無いようである。