3次元版
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/03 17:20 UTC 版)
ヘロンの公式の3次元版として、四面体の体積を6辺の長さから求める公式を紹介する。 3次元版ヘロンの公式 ― 6辺の長さが l 1 , l 2 , ⋯ , l 6 {\displaystyle l_{1},l_{2},\cdots ,l_{6}} である四面体の体積 V {\displaystyle V} は V 2 = 1 144 { l 1 2 l 5 2 ( − l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 + l 4 2 − l 5 2 + l 6 2 ) + l 2 2 l 6 2 ( l 1 2 − l 2 2 + l 3 2 + l 4 2 + l 5 2 − l 6 2 ) + l 3 2 l 4 2 ( l 1 2 + l 2 2 − l 3 2 − l 4 2 + l 5 2 + l 6 2 ) − l 1 2 l 2 2 l 4 2 − l 2 2 l 3 2 l 5 2 − l 1 2 l 3 2 l 6 2 − l 4 2 l 5 2 l 6 2 } . {\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}=&{\frac {1}{144}}\{{l_{1}}^{2}{l_{5}}^{2}(-{l_{1}}^{2}+{l_{2}}^{2}+{l_{3}}^{2}+{l_{4}}^{2}-{l_{5}}^{2}+{l_{6}}^{2})+{l_{2}}^{2}{l_{6}}^{2}({l_{1}}^{2}-{l_{2}}^{2}+{l_{3}}^{2}+{l_{4}}^{2}+{l_{5}}^{2}-{l_{6}}^{2})\\&+{l_{3}}^{2}{l_{4}}^{2}({l_{1}}^{2}+{l_{2}}^{2}-{l_{3}}^{2}-{l_{4}}^{2}+{l_{5}}^{2}+{l_{6}}^{2})-{l_{1}}^{2}{l_{2}}^{2}{l_{4}}^{2}-{l_{2}}^{2}{l_{3}}^{2}{l_{5}}^{2}-{l_{1}}^{2}{l_{3}}^{2}{l_{6}}^{2}-{l_{4}}^{2}{l_{5}}^{2}{l_{6}}^{2}\}.\end{aligned}}} ただし、四面体の頂点を O, A, B, C とすると、 l 1 = | OA | {\displaystyle l_{1}=|{\text{OA}}|} , l 2 = | OB | {\displaystyle l_{2}=|{\text{OB}}|} , l 3 = | OC | {\displaystyle l_{3}=|{\text{OC}}|} , l 4 = | AB | {\displaystyle l_{4}=|{\text{AB}}|} , l 5 = | BC | {\displaystyle l_{5}=|{\text{BC}}|} , l 6 = | CA | {\displaystyle l_{6}=|{\text{CA}}|} .
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