群の拡大

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群の拡大

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/01 20:47 UTC 版)

数学において、群の拡大（ぐんのかくだい、英: group extension）は、一般に特定の正規部分群と剰余群を使って群を記述することを意味する。Q および N をふたつの群とするとき、G が N による Q の拡大 (extension) であるとは短完全列

$$1\to N\to G\to Q\to 1$$

が存在することを言う。G が N による Q の拡大（これとあべこべに "G が N の Q による拡大である" と書く文献もある）ならば G は群であり、N は G の正規部分群で剰余群 G/N は群 Q に同型となる。群の拡大は、Q と N が既知の群であるとき、群 G の性質を決定できるかという拡大の問題 (extension problem)の文脈で現れる。任意の有限群 G は極大正規部分群 N と単純剰余群 G/N を持つから、任意の有限群は有限単純群の列として構成することができる。この事実があるため、有限単純群の分類の完成は動機付けられたのであった。