積分範囲が無限区間の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/08 01:30 UTC 版)
「数値積分」の記事における「積分範囲が無限区間の場合」の解説
積分範囲が無限区間の場合は、下記の方法で置換積分で変換して数値積分する方法がある。ただし関数によっては違う方法を利用した方が良い場合もある。無限大に近づくときに急激に0に収束することが解析的に分かっている場合は、積分範囲を有界で区切ってしまえば良い場合もある。 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ − 1 1 f ( t 1 − t 2 ) 1 + t 2 ( 1 − t 2 ) 2 d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{(1-t^{2})^{2}}}\,dt} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ 0 1 ( f ( 1 − t t ) + f ( − 1 − t t ) ) 1 t 2 d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{0}^{1}\left(f\left({\frac {1-t}{t}}\right)+f\left(-{\frac {1-t}{t}}\right)\right){\frac {1}{t^{2}}}\,dt} ∫ a ∞ f ( x ) d x = ∫ 0 1 f ( a + 1 − t t ) 1 t 2 d t {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\int _{0}^{1}f\left(a+{\frac {1-t}{t}}\right){\frac {1}{t^{2}}}\,dt} ∫ − ∞ b f ( x ) d x = ∫ 0 1 f ( b − 1 − t t ) 1 t 2 d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx=\int _{0}^{1}f\left(b-{\frac {1-t}{t}}\right){\frac {1}{t^{2}}}\,dt}
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