合成数についての証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 19:14 UTC 版)
「二個の平方数の和」の記事における「合成数についての証明」の解説
p = x 2 + y 2 , q = x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle p=x^{2}+y^{2},q=x'^{2}+y'^{2}} であれば 2 p = 2 ( x 2 + y 2 ) = ( x − y ) 2 + ( x + y ) 2 p q = ( x 2 + y 2 ) ( x ′ 2 + y ′ 2 ) = ( x x ′ − y y ′ ) 2 + ( x y ′ + y x ′ ) 2 r 2 p = r 2 ( x 2 + y 2 ) = ( r x ) 2 + ( r y ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&2p=2(x^{2}+y^{2})=(x-y)^{2}+(x+y)^{2}\\&pq=(x^{2}+y^{2})(x'^{2}+y'^{2})=(xx'-yy')^{2}+(xy'+yx')^{2}\\&r^{2}p=r^{2}(x^{2}+y^{2})=(rx)^{2}+(ry)^{2}\\\end{aligned}}} であるから、十分条件については明らかである。必要条件については A = x 2 + y 2 {\displaystyle A=x^{2}+y^{2}} が p ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 3\;(\operatorname {mod} \;4)} の形の素因数を持つと仮定して矛盾を導く（背理法）。 p | a {\displaystyle p|a} であれば A = p a = x 2 + y 2 {\displaystyle A=pa=x^{2}+y^{2}} と書ける。ここで p | x {\displaystyle p|x} であれば必然的に p | y {\displaystyle p|y} であり、 p 2 | A {\displaystyle p^{2}|A} であるから両辺を p 2 {\displaystyle p^{2}} で除するものとする。 p ⧸ | x {\displaystyle p\not |x} であれば x x − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle xx^{-1}\equiv 1\;(\operatorname {mod} \;p)} となる x − 1 {\displaystyle x^{-1}} が存在する。両辺に ( x − 1 ) 2 {\displaystyle (x^{-1})^{2}} を乗すると p a ( x − 1 ) 2 = 1 + ( y x − 1 ) 2 0 ≡ 1 + ( y x − 1 ) 2 ( mod p ) − 1 ≡ ( y x − 1 ) 2 ( mod p ) {\displaystyle {\begin{aligned}&pa(x^{-1})^{2}=1+(yx^{-1})^{2}\\&0\equiv {1+(yx^{-1})^{2}}\;(\operatorname {mod} \;p)\\&-1\equiv {(yx^{-1})^{2}}\;(\operatorname {mod} \;p)\\\end{aligned}}} となる。しかし、これは − 1 {\displaystyle -1} が p ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 3\;(\operatorname {mod} \;4)} の平方剰余にならないという事実に反する。従って、 p ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 3\;(\operatorname {mod} \;4)} の形の素因数を平方以外の形で持つ合成数が二個の平方数の和で表されることはない。
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