ファインマン–カッツの公式とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

ファインマン–カッツの公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/03/28 05:01 UTC 版)

ファインマン–カッツの公式（ファインマン–カッツのこうしき、Feynman–Kac formula）とは、放物型偏微分方程式のコーシー問題の解 $\;u(\mathbf {x} ,t)\;$ を、ウィーナー過程 $\;W_{t}\;$ を用いて表現した公式のことである。

脚注

注釈

^ 物理学では、フォッカー・プランク方程式(Fokker-Planck equation)と呼ぶこともある。
^ 実時間での経路積分の場合、いかなる測度も定義できないことが証明されている。
^ 普通のウィーナー測度 $\;P^{x}(B_{t}\in d^{d}{\boldsymbol {\xi }})=\left({\frac {1}{2\pi t}}\right)^{d/2}\exp \left(-{\frac {({\boldsymbol {\xi }}-\mathbf {x} )^{2}}{2t}}\right)d^{d}{\boldsymbol {\xi }}\;$ で考えるということ。
^ ポテンシャルがある場合は、純粋に確率過程の理論のみで計算することは難しい。現実的には経路積分と同じテクニックで計算することになる。
^ 調和振動子であれば簡単に計算できる。 $\;{\frac {1}{r^{2}}}\;(r:={\sqrt {\sum _{n=1}^{d}x_{n}^{2}}})\;$ 型のポテンシャルが加わっていても計算は近似なしにできるが、計算はややテクニックを要する。
^ 例えば、1次元の半数直線 $\;x\in \mathbb {R} _{+}\;$ の場合で、原点において第2種の境界条件(ノイマンの境界条件)が与えられている時は単純で、 $\;B_{t}\;$ の代わりに $\;|B_{t}|\;$ を用いればよい。有限区間の場合は、有限区間での反射ブラウン運動を定義する必要がある。解は無限和の表現になる。
^ 滞在時間(sojourn time)と呼ばれることもあるが、最近の文献ではこの表現はあまり見かけない。
^ パラメータ $\;t\;$ について 1階微分可能、 $\;x\;$ について2階微分可能。
^ $\;g\;$ が $\;t\in [0,T]\times \mathbb {R} ^{d}\;$ に対して $\;g\geq 0\;$ を満足する場合は、条件を $\;\max _{0\leq t\leq T}|v(t,x)|\leq Ke^{a||x||^{2}}\;$ に置きかえることができる。
^ $\;B_{t}\;$ を $\;B_{t}+x\;$ へ置き換えて、測度 $\;P^{0}\;$ で考えても同じである。
^ マルティンゲールではないことに注意。

出典

^ R.P.Feynman, Rev.Mod.Phys. 20(1948)367.
^ M.Kac, Transactions of the American Mathematical Society 65(1949)1-13.
^ 中村徹著「超準解析と物理学」、日本評論社、1998、ISBN 4-535-78248-2。同書での引用文献を参照。
^ 例えば、藤原大輔著「ファインマン経路積分の数学的方法」シュプリンガー・ジャパン、1999年、ISBN 978-4-431-70748-6 .
^ D.Peaks and A.Inomata, J.Math.Phys.10(1969)1422.
^ 具体的な計算テクニックについては、H.Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics and Financial Markets(fifth edition), World Scienctific, ISBN 978-981-4273-56-5 や C.Grosche and F.Steiner, Handbook of Feynman Path Integrals, Springer Verlag, 1998, ISBN 3-540-57135-3 などを参照。
^ ^a ^b I.Karatzas and S.E.Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus(second edition), Springer Verlag, 1991, ISBN 0-387-97655-8 (New York), pp.268-269.