アインシュタインテンソルの発散は0
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/02 17:11 UTC 版)
「アインシュタイン方程式」の記事における「アインシュタインテンソルの発散は0」の解説
ビアンキの第二恒等式 ∇ l R k j i h + ∇ j R l k i h + ∇ k R j l i h = 0 {\displaystyle \nabla _{l}R_{kji}{}^{h}+\nabla _{j}R_{lki}{}^{h}+\nabla _{k}R_{jli}{}^{h}=0} から、l = h = a とおいて縮約を行うと ∇ a R k j i a + ∇ j R a k i a + ∇ k R j a i a = ∇ a R k j i a + ∇ j R k i − ∇ k R j i = 0 {\displaystyle \nabla _{a}R_{kji}{}^{a}+\nabla _{j}R_{aki}{}^{a}+\nabla _{k}R_{jai}{}^{a}=\nabla _{a}R_{kji}{}^{a}+\nabla _{j}R_{ki}-\nabla _{k}R_{ji}=0} この式に基本計量テンソル gj i を掛け合わせると、計量条件（またはリッチの補定理） ∇ h g j i = 0 {\displaystyle \nabla _{h}g^{ji}=0} から g j i ∇ a R k j i a + g j i ∇ j R k i − g j i ∇ k R j i = ∇ a ( g j i R k j i a ) + ∇ j ( g j i R k i ) − ∇ k ( g j i R j i ) = 0 {\displaystyle g^{ji}\nabla _{a}R_{kji}{}^{a}+g^{ji}\nabla _{j}R_{ki}-g^{ji}\nabla _{k}R_{ji}=\nabla _{a}\left(g^{ji}R_{kji}{}^{a}\right)+\nabla _{j}\left(g^{ji}R_{ki}\right)-\nabla _{k}\left(g^{ji}R_{ji}\right)=0} となる。ここで上式の各項について g j i R k j i a = g j i R k j i f g f a = g j i R j k f i g f a = R k f g f a = R k a {\displaystyle g^{ji}R_{kji}{}^{a}=g^{ji}R_{kjif}g^{fa}=g^{ji}R_{jkfi}g^{fa}=R_{kf}g^{fa}=R_{k}{}^{a}} g j i R j i = R {\displaystyle g^{ji}R_{ji}=R} となることから、上式から ∇ a R k a + ∇ j R k j − ∇ k R = 2 ∇ a R k a − ∇ k R = 0 {\displaystyle \nabla _{a}R_{k}{}^{a}+\nabla _{j}R_{k}{}^{j}-\nabla _{k}R=2\nabla _{a}R_{k}{}^{a}-\nabla _{k}R=0} を得る。したがって、アインシュタインテンソルの添え字を一つ上にあげたものを G i j = R i j − 1 2 R g i k g k j {\displaystyle G_{i}{}^{j}=R_{i}{}^{j}-{1 \over 2}Rg_{ik}g^{kj}} とすると、その発散 ∇ a G i a {\displaystyle \nabla _{a}G_{i}{}^{a}} について ∇ a G i a = ∇ a R i a − 1 2 ∇ a R δ i a = ∇ a R i a − 1 2 ∇ i R = 0 {\displaystyle \nabla _{a}G_{i}{}^{a}=\nabla _{a}R_{i}{}^{a}-{1 \over 2}\nabla _{a}R\delta _{i}^{a}=\nabla _{a}R_{i}{}^{a}-{1 \over 2}\nabla _{i}R=0} が成り立つ。
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