Smith–Volterra–Cantor set

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スミス–ヴォルテラ–カントール集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/08 07:03 UTC 版)

黒い区間が取り除かれた後、白い箇所には測度 1/2 の疎集合が残っている。

数学において、スミス–ヴォルテラ–カントール集合 (SVC)、太ったカントール集合、ε-カントール集合は、実数直線の部分集合であって、疎集合（特に、区間を含まない）でありながら正の測度を持つものの一例である。スミス–ヴォルテラ–カントール集合の名はヘンリー・スミス、ヴィト・ヴォルテラ、ゲオルク・カントールにちなむ。1875年の論文において、スミスは実数直線上の正測度を持つ疎集合について議論している、そしてヴォルテラは1881年に似た例を紹介している。 続いて、1883年に今日知られているカントール集合が紹介されている。スミス–ヴォルテラ–カントール集合は middle-thirds Cantor set と呼ばれる"真ん中を1/3ずつ取り除いて構成する"通常のカントール集合と同相である。

構成

通常のカントール集合とよく似た構成であり、スミス–ヴォルテラ–カントール集合も単位区間 $[0,1]$

スミス–ヴォルテラ–カントール集合の構成の各ステップでは残りの区間に比例して除去される部分の割合も小さくなっている。このことはカントール集合の構成と対照的であり、カントール集合では除去される部分の割合は不変である。このことにより、前者は正の測度をもち、後者は測度 0 をもつ。

性質

その構成法により、スミス–ヴォルテラ–カントール集合はいかなる区間をも含まず、よって内部が空である。また、閉集合列の交叉として得られるので、閉集合である。構成法により $[0,1]$