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同型写像

(同形写像から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/23 04:26 UTC 版)

同型写像（どうけいしゃぞう、（英: isomorphism^{[note 1]}）あるいは単に同型とは、数学において準同型写像あるいは射であって、逆射を持つものである^{[note 2]}。

脚注

注釈

^ from the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape"
^ 逆関数ではない
^ 注意深い読者は $A, B, C$ が慣習的な順序、すなわちアルファベット順であり、同様に $1, 2, 3$ も整数の順番だから、1つの特定の同型、すなわち
${\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3$
が「自然」だと思うかもしれない。より形式的には、集合としてはこれらは同型であるが、自然に同型ではない（同型写像の複数の選び方がある）。一方で、順序集合としては自然に同型である（上で与えられた一意的な同型写像がある）、なぜならば有限全順序（英語版）は濃度による一意的な同型を除いて一意的に決定されるからである。この直観は以下のように言うことで定式化できる。同じ濃度をもった任意の2つの有限全順序集合は次のような自然な同型を持つ。前者の最小元を後者の最小元に送り、前者の残りの最小元を後者の残りの最小元に送り、……。しかし一般には。与えられた有限濃度の集合の対は自然に同型ではない、なぜならば写像の選び方が1つよりも多くあるからだ――ただし濃度が 0 あるいは 1 のときは除く。このときは一意的な選択がある。
^ 実は、2つの3元集合の間の異なる同型写像はちょうど $3! = 6$ 個ある。これは与えられた3元集合の自己同型の個数に等しく（そして3文字の対称群の位数に等しく）、一般に2つの対象の間の同型写像の集合 $Iso(A, B)$ は $A$ の自己同型群 $Aut(A)$ の torsor（英語版）であり $B$ の自己同型群の torsor でもある。実は、対象の自己同型は、この後述べるようにベクトル空間のその双対や二重双対との同一視における基底の変換の影響によって論証されるように、同型と等号を区別する主な理由である。
^ 正確には、複素数の実平面との同一視
$\mathbf {C} \cong \mathbf {R} \cdot 1\oplus \mathbf {R} \cdot i=\mathbf {R} ^{2}$
は $i$ の取り方に依存する； $-i$ を選ぶこともでき、異なる同一視を生む――形式的には、複素共役が自己同型である――が、実際にはそのような同一視をしたとしばしば仮定する。