ハーン＝バナッハの定理との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/05/19 10:47 UTC 版)
「リースの拡張定理」の記事における「ハーン＝バナッハの定理との関係」の解説
詳細は「ハーン-バナッハの定理」を参照 ハーン＝バナッハの定理は、リースの拡張定理より導出することが出来る。 V を線型空間とし、N を V 上の劣線型函数とする。φ は部分空間 U ⊂ V 上の汎函数で N によって支配されるもの、すなわち ϕ ( x ) ≤ N ( x ) , x ∈ U {\displaystyle \phi (x)\leq N(x),\quad x\in U} が成立するものとする。ハーン＝バナッハの定理では、この φ が N によって支配される V 上のある線型汎函数へ拡張できることが主張されている。 この事実をリースの拡張定理より導くために、凸錐 K ⊂ R×V を次のように定める。 K = { ( a , x ) ∣ N ( x ) ≤ a } . {\displaystyle K=\left\{(a,x)\,\mid \,N(x)\leq a\right\}.} ϕ 1 ( a , x ) = a − ϕ ( x ) . {\displaystyle \phi _{1}(a,x)=a-\phi (x).} ψ ( x ) = − ψ 1 ( 0 , x ) {\displaystyle \psi (x)=-\psi _{1}(0,x)} ψ 1 ( N ( x ) , x ) = N ( x ) − ψ ( x ) < 0 {\displaystyle \psi _{1}(N(x),x)=N(x)-\psi (x)<0} となり、矛盾が生じる。
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