ϵ ( q , ω ) = 1 − V q ∑ k f k − q − f k ℏ ( ω + i δ ) + E k − q − E k . {\displaystyle \epsilon (q,\omega )=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{\hbar (\omega +i\delta )+E_{k-q}-E_{k}}}.} 3次元における静的に遮蔽されたポテンシャル（上の曲面）とクーロンポテンシャル（下の曲面）。 縮退したガス(T=0)において、フェルミエエネルギーは次式で与えられる。
E f = ℏ 2 2 m ( 3 π 2 n ) 2 3 {\displaystyle E_{f}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}} よって密度は、
n = 1 3 π 2 ( 2 m ℏ 2 E f ) 3 2 {\displaystyle n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{f}\right)^{\frac {3}{2}}} T=0では E f ≡ μ {\displaystyle E_{f}\equiv \mu } ∂ n ∂ μ = 3 2 n E f {\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{f}}}}
これを上述の3次元遮蔽波数の式に代入すると、
κ = 4 π e 2 ϵ ∂ n ∂ μ = 6 π e 2 n ϵ E f {\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{f}}}}}
これは3次元におけるトーマス-フェルミ遮蔽波数である。
なお、デバイ遮蔽 は非縮退極限の場合を記述する。結果は κ = 4 π e 2 n β ϵ {\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}}
2次元 長波長極限 まず長波長極限 ( q → 0 {\displaystyle q\to 0}
E k − q − E k = ℏ 2 2 m ( k 2 − 2 k → ⋅ q → + q 2 ) − ℏ 2 k 2 2 m ≃ − ℏ 2 k → ⋅ q → m {\displaystyle E_{k-q}-E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}} また分子について、
f k − q − f k = f k − q → ⋅ ∇ k f k + ⋯ − f k ≃ − q → ⋅ ∇ k f k {\displaystyle f_{k-q}-f_{k}=f_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}+\cdots -f_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}} これらをリンドハード公式に代入し、極限 δ → 0 {\displaystyle \delta \to 0}
ϵ ( 0 , ω ) ≃ 1 + V q ∑ k , i q i ∂ f k ∂ k i ℏ ω 0 − ℏ 2 k → ⋅ q → m ≃ 1 + V q ℏ ω 0 ∑ k , i q i ∂ f k ∂ k i ( 1 + ℏ k → ⋅ q → m ω 0 ) ≃ 1 + V q ℏ ω 0 ∑ k , i q i ∂ f k ∂ k i ℏ k → ⋅ q → m ω 0 = 1 + V q ℏ ω 0 2 ∫ d 2 k ( L 2 π ) 2 ∑ i , j q i ∂ f k ∂ k i ℏ k j q j m ω 0 = 1 + V q L 2 m ω 0 2 2 ∫ d 2 k ( 2 π ) 2 ∑ i , j q i q j k j ∂ f k ∂ k i = 1 + V q L 2 m ω 0 2 ∑ i , j q i q j 2 ∫ d 2 k ( 2 π ) 2 k j ∂ f k ∂ k i = 1 − V q L 2 m ω 0 2 ∑ i , j q i q j 2 ∫ d 2 k ( 2 π ) 2 k k ∂ f j ∂ k i = 1 − V q L 2 m ω 0 2 ∑ i , j q i q j n δ i j = 1 − 2 π e 2 ϵ q L 2 L 2 m ω 0 2 q 2 n = 1 − ω p l 2 ( q ) ω 0 2 , {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega )&\simeq 1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}2\int d^{2}k({\frac {L}{2\pi }})^{2}\sum _{i,j}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar k_{j}q_{j}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}k_{j}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}\\&=1+{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{j}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{k}{\frac {\partial f_{j}}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}n\delta _{ij}}\\&=1-{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}q^{2}n\\&=1-{\frac {\omega _{pl}^{2}(q)}{\omega _{0}^{2}}},\end{alignedat}}} ここで E k = ℏ ϵ k {\displaystyle E_{k}=\hbar \epsilon _{k}} V q = 2 π e 2 ϵ q L 2 {\displaystyle V_{q}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}} ω p l 2 ( q ) = 2 π e 2 n q ϵ m {\displaystyle \omega _{pl}^{2}(q)={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}}
静止限界 次に静止極限( ω + i δ → 0 {\displaystyle \omega +i\delta \to 0}
ϵ ( q , 0 ) = 1 − V q ∑ k f k − q − f k E k − q − E k {\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{E_{k-q}-E_{k}}}} 上述の式を分母と分子に代入すると、
ϵ ( q , 0 ) = 1 − V q ∑ k , i − q i ∂ f ∂ k i − ℏ 2 k → ⋅ q → m = 1 − V q ∑ k , i q i ∂ f ∂ k i ℏ 2 k → ⋅ q → m {\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}} 熱平衡でのフェルミ-ディラックキャリア分布を仮定すると、
∑ i q i ∂ f k ∂ k i = − ∑ i q i ∂ f k ∂ μ ∂ ϵ k ∂ k i = − ∑ i q i k i ℏ 2 m ∂ f k ∂ μ {\displaystyle \sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}{\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}} ここで ϵ k = ℏ 2 k 2 2 m {\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}} ∂ ϵ k ∂ k i = ℏ 2 k i m {\displaystyle {\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}}
よって、
ϵ ( q , 0 ) = 1 + V q ∑ k , i q i k i ℏ 2 m ∂ f k ∂ μ ℏ 2 k → ⋅ q → m = 1 + V q ∑ k ∂ f k ∂ μ = 1 + 2 π e 2 ϵ q L 2 ∂ ∂ μ ∑ k f k = 1 + 2 π e 2 ϵ q ∂ ∂ μ N L 2 = 1 + 2 π e 2 ϵ q ∂ n ∂ μ ≡ 1 + κ q . {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (q,0)&=1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}=1+V_{q}\sum _{k}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{2}}}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa }{q}}.\end{alignedat}}} κ \kappa κ = 2 π e 2 ϵ ∂ n ∂ μ {\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}
ここで2次元での静的に遮蔽されたクーロンポテンシャルは次式で与えられる。
V s ( q , ω = 0 ) ≡ V q ϵ ( q , ω = 0 ) = 2 π e 2 ϵ q L 2 q q + κ = 2 π e 2 ϵ L 2 1 q + κ {\displaystyle V_{s}(q,\omega =0)\equiv {\frac {V_{q}}{\epsilon (q,\omega =0)}}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {q}{q+\kappa }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon L^{2}}}{\frac {1}{q+\kappa }}} 2次元フェルミ気体の化学ポテンシャルは次式で与えられることが知られている。
μ ( n , T ) = 1 β ln ( e ℏ 2 β π n / m − 1 ) {\displaystyle \mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}} また ∂ μ ∂ n = ℏ 2 π m 1 1 − e − ℏ 2 β π n / m {\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}}
よって2次元での遮蔽波数は、
κ = 2 π e 2 ϵ ∂ n ∂ μ = 2 π e 2 ϵ m ℏ 2 π ( 1 − e − ℏ 2 β π n / m ) = 2 m e 2 ℏ 2 ϵ f k = 0 . {\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {m}{\hbar ^{2}\pi }}(1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m})={\frac {2me^{2}}{\hbar ^{2}\epsilon }}f_{k=0}.}
これはnに依存しないことに注意。
1次元 ここでは次元を下げたいくつかの限られた場合を考える。次元を下げると、遮蔽効果は弱くなる。低次元では、一部の力線が遮蔽効果が無い物質を貫く。1次元の場合、ワイヤ軸に非常に近い力線にのみ遮蔽が影響を与えると考えられる。
実験 実際の実験では、単一フィラメントのような1次元の場合を扱っていたとしても、3次元バルクの遮蔽効果も考慮する必要がある。D. Davisは、フィラメントと同軸円筒に閉じ込められた電子ガスにトーマス-フェルミ遮蔽を適用した[3] 2 Pt(CN)4 Cl0.32 ·2.6H2 0では、フィラメントと同軸円筒との間の領域内のポテンシャルは e − k e f f r / r {\displaystyle e^{-k_{eff}r}/r} 白金 の約10倍であることが分かっている。
関連項目 参考文献 Haug, Hartmut; W. Koch, Stephan (2004). Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors (4th ed.) . World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.. ISBN 981-238-609-2 リンドハード理論のページの著作権 Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。
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