数学 において、ボールウェイン積分 (英 : Borwein integral )は関数sinc(ax ) の積の積分 である。ただし、ここでsinc(x )はsinc関数 であり、0でないxに対しては sinc(x )=sin(x )/x とし、sinc(0)=1と定める[1] [2] 。2001年にデイヴィッド・ボールウェイン(英語版 ) とジョナサン・ボールウェイン(英語版 ) によって提示された。これらの積分は、わかりやすいパターンを示すかと思いきや、やがてそれが崩れることで知られる。たとえば、以下のとおりである。
∫ 0 ∞ sin ( x ) x d x = π / 2 ∫ 0 ∞ sin ( x ) x sin ( x / 3 ) x / 3 d x = π / 2 ∫ 0 ∞ sin ( x ) x sin ( x / 3 ) x / 3 sin ( x / 5 ) x / 5 d x = π / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\pi /2\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx=\pi /2\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx=\pi /2\end{aligned}}} このパターンは、次まで続く。
∫ 0 ∞ sin ( x ) x sin ( x / 3 ) x / 3 ⋯ sin ( x / 13 ) x / 13 d x = π / 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx=\pi /2} ところが、次のステップではこのパターンが崩れてしまう。
∫ 0 ∞ sin ( x ) x sin ( x / 3 ) x / 3 ⋯ sin ( x / 15 ) x / 15 d x = 467807924713440738696537864469 935615849440640907310521750000 π = π 2 − 6879714958723010531 935615849440640907310521750000 π ≃ π 2 − 2.31 × 10 − 11 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}\end{aligned}}} 一般には、3,5,...という数に限らず、それらの数の逆数の和が1より小さい任意の実数たちを用いても、同様に積分値がπ/2となる。上の例では、1/3+1/5+...+1/13<1だが、1/3+1/5+...+1/15>1である。
より長い列の例を挙げる。
∫ 0 ∞ 2 cos ( x ) sin ( x ) x sin ( x / 3 ) x / 3 ⋯ sin ( x / 111 ) x / 111 d x = π / 2 , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx=\pi /2,} だが、
∫ 0 ∞ 2 cos ( x ) sin ( x ) x sin ( x / 3 ) x / 3 ⋯ sin ( x / 111 ) x / 111 sin ( x / 113 ) x / 113 d x < π / 2 , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<\pi /2,} である。これらの例とともに、このようなことが起こる理由の直観的な説明も示されている[3] 。
数式処理システムMaximaによるプログラムの例 /* 上記の最初の例 */
f(n) := if n=1 then sin(x)/x else f(n-2) * (sin(x/n)/(x/n));
for n from 1 thru 15 step 2 do (
print("f(", n, ")=", f(n) ),
print("integral of f for n=", n, " is ", integrate(f(n), x, 0, inf))
);
/* 上記の二つ目の例 */
for n from 1 thru 19 step 2 do (
print("g(", n, ")=", 2*cos(x)*f(n) ),
print("integral of g for n=", n, " is ", integrate(2*cos(x)*f(n), x, 0, inf))
);
出典 ^ Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2001), “Some remarkable properties of sinc and related integrals”, The Ramanujan Journal 5 (1): 73?89, doi :10.1023/A:1011497229317 , ISSN 1382-4090 , MR 1829810 ^ Baillie, Robert (2011). "Fun With Very Large Numbers". arXiv :1105.3943v1 [math.NT ]。 ^ Schmid, Hanspeter (2014), “Two curious integrals and a graphic proof” , Elemente der Mathematik 69 (1): 11–17, doi :10.4171/EM/239 , ISSN 0013-6018 , http://schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf