シュピーカー点

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シュピーカー点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/03 10:14 UTC 版)

幾何学において, シュピーカー点（シュピーカーてん、英:Spieker center,Spieker point^[1]）またはシュピーカー中心、シュピーカー心は、三角形の中心の一つである。 三角形の周長の重心として定義される^[2][3]。 19世紀のドイツの数学者テオドール・シュピーカー（ドイツ語版、英語版）にちなんで名づけられた^[4]。クラーク・キンバリング（英語版）の「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(10)として登録されている 。

位置

シュピーカー点の作図,三角形DEFは三角形ABCの中点三角形,Sは三角形DEFの内心

シュピーカー点は中点三角形の内心である。

つまりシュピーカー点は △ABC の中点三角形の内接円の中心である。この円はシュピーカー円と呼ばれている。

またシュピーカー点は、中分線（英語版）（中点を通り周長を二等分する直線)の交点である。

性質

黒い破線は三角形ABCの角の二等分線,青い線は中分線,赤い線はシュピーカー円

△ABCのシュピーカー点をSとする。

• Sの 三線座標 は以下の式で表される。

${\displaystyle bc(b+c):ca(c+a):ab(a+b).}$^[5]

• 重心座標 は以下の式で表される。

${\displaystyle b+c:c+a:a+b.}$

• S は3つの傍接円の根心 である^[6]。
• S は△ABCの中分線の交点である。
• S は△ABCのナーゲル線上にある。また、内心I,重心G,ナーゲル点Nについて${\displaystyle 3{\overrightarrow {\mathrm {IG} }}=2{\overrightarrow {\mathrm {IS} }}={\overrightarrow {\mathrm {IN} }}}$が成り立つ^[7]。

• S はキーペルト双曲線上にある^[8]。つまり角XBC,XCB,YCA,YAC,ZAB,ZBAが以下の式で表される△XBC, △YCA, △ZABを内側に描いたとき、AX, BY, CZの交点である。

${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {A}{2}}\right)\tan \left({\frac {B}{2}}\right)\tan \left({\frac {C}{2}}\right)\right].}$

出典

1. ^ Boris Odehnal. “Some Triangle Centers Associated with the Circles Tangent to the Excircle”. Forum Geometricorum. 2024年5月3日閲覧。
2. ^ Honsberger, Ross (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Mathematical Association of America. pp. 3–4 
3. ^ Kimberling. “Spieker center”. 2012年5月5日閲覧。
4. ^ Spieker, Theodor (1888). Lehrbuch der ebenen Geometrie. Potsdam, Germany 
5. ^ Kimberling. “Encyclopedia of Triangle Centers”. 2012年5月5日閲覧。
6. ^ Odenhal, Boris (2010), “Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles”, Forum Geometricorum 10: 35–40, http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201006.pdf 
7. ^ Bogomolny. “Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles”. 2012年5月5日閲覧。
8. ^ “キーペルト双曲線”. Weisstein, Eric W. 2024年3月9日閲覧。