モーデル作用素

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モーデル作用素

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/16 13:54 UTC 版)

モーデル作用素(モーデルさようそ、Mordell operator)とは、関数${\displaystyle \Delta (z):=q\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)^{24}}$に作用する作用素。

定義

各素数${\displaystyle p}$に対して、 モーデル作用素${\displaystyle T(p)}$は、ラマヌジャンが考察した関数${\displaystyle \Delta (z)}$ ^[1]

${\displaystyle \Delta (z):=q\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)^{24}=:\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n},\quad q:=\exp \left(2\pi iz\right),\quad z\in H:=\{\zeta |\mathrm {Im} \zeta >0\},}$

に作用する作用素として、以下のように定義される ^[2]。

${\displaystyle (T(p)\Delta )(z):={\frac {1}{p}}\sum _{l=0}^{p-1}\Delta \left({\frac {z+l}{p}}\right)+p^{11}\Delta (pz).}$

歴史

1916年にラマヌジャンは${\displaystyle \tau (p)}$に関して、次の2つの命題を予想した^[3]。

• ディリクレ級数${\displaystyle L(s,\Delta )}$を${\displaystyle L(s,\Delta ):=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)n^{-s}}$と定義すると${\displaystyle L(s,\Delta )=\prod _{p=\mathrm {prime\;number} }\left(1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}\right)^{-1}}$が成立する。
• 素数${\displaystyle p}$に対して、${\displaystyle |\tau (p)|<2p^{11/2}}$が成立する。(「ラマヌジャン予想」と呼ばれる。1974年にドリーニュによって証明された^[4][5][6]。)

さらに、次の命題を証明した^[3]。

• 素数${\displaystyle p}$に対して、${\displaystyle \tau (p)\equiv 1+p^{11}(\mod 691).}$

1917年、モーデルはこの3つのうち最初の命題を証明した^{[2][7] [8]}。 その時の証明の中で、モーデル作用素を定義し、 ${\displaystyle \Delta (z)}$がモーデル作用素の固有状態で、その固有値が${\displaystyle \tau (p)}$であることを示した。

${\displaystyle (T(p)\Delta )(z)=\tau (p)\Delta (z).}$

出典

1. ^ 黒川信重・栗原将人・斎藤毅共著「数論Ⅱ：岩澤理論と保型形式」岩波書店、2005、ISBN 4-00-005528-3、p.382.
2. ^ ^{a b} 黒川他「数論Ⅱ」p.385.
3. ^ ^{a b} 黒川他「数論Ⅱ」p.384.
4. ^ 黒川他「数論Ⅱ」pp.385, 395.
5. ^ G.H.Hardy, Ramanujan:Twelve lectures on subjects suggested by his life and work(reprint), 1999, AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-2023-0, p.246.
6. ^ P.Delignu, La conjecture de Weil. I., Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math.(1974), no.43, 273-307.
7. ^ G.H.Hardy, Ramanujan, p.184.
8. ^ L.J.Mordell, On Mr.Ramanujan's empirical expansions of moduler functions, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19(1917)117-124.