静磁場 ベクトル解析に関する補足

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静磁場

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/09/13 02:05 UTC 版)

ベクトル解析に関する補足

静磁場の解析には、静磁場の解析には、やや高度なベクトル解析の知識 (例えば 藤本参照） が要求される。同じ式変形が何度も繰り返されるのを避ける目的から、 一般的な知識は既知とする立場から、本記事の内容理解に必要と思われる事柄に限り、簡単に説明する。 が要求される。同じ式変形が何度も繰り返されるのを避ける目的から、 一般的な知識は既知とする立場から、本記事の内容理解に必要と思われる事柄に限り、簡単に説明する。

ベクトル場の代数演算と微分作用素

ベクトル場に代数演算を施したものに、微分作用素を作用させた場合に成り立つ公式について、本記事で用い、かつ、あまり本に載っていないものについて、簡潔にまとめる。

(1) <F|∇>について

F=(f₁,f₂,f₃)をベクトル場とする。このとき、

$\left\langle \ \mathbf {F} \ |\ \nabla \ \right\rangle :={f}_{1}{\partial \over \partial {x}_{1}}+{f}_{2}{\partial \over \partial {x}_{2}}+{f}_{3}{\partial \over \partial {x}_{3}}$

と定義する。ここで、∇は、

$\nabla :=\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}$

を意味する。<F|∇>のことを、”F・∇”と書くこともある。

Gを、ベクトル場としたとき、<F|∇>をGに作用させると、

$\left\langle \ \mathbf {F} \ |\ \nabla \ \right\rangle \mathbf {G} ={f}_{1}{\partial {g}_{1} \over \partial {x}_{1}}+{f}_{2}{\partial {g}_{2} \over \partial {x}_{2}}+{f}_{3}{\partial {g}_{3} \over \partial {x}_{3}}=(J[\mathbf {G} ])\cdot \mathbf {F}$

が成り立つ。ここで、$J[\mathbf {G} ]$は、Gのヤコビ行列（ヤコビアンではない）を意味する。

(2)rot とスカラー倍、ベクトル積

F,Gを、ベクトル場、fを、スカラー値関数とする。このとき、以下が成り立つ。

$\operatorname {rot} [f\mathbf {F} ]=\operatorname {grad} [f]\times \mathbf {F} +f\cdot \operatorname {rot} [\mathbf {F} ]$

$\operatorname {rot} [\mathbf {F} \times \mathbf {G} ]=\left\langle \ \mathbf {G} \ |\ \nabla \ \right\rangle \mathbf {F} -\left\langle \ \mathbf {F} \ |\ \nabla \ \right\rangle \mathbf {G} +\mathbf {F} \operatorname {div} [\mathbf {G} ]-\mathbf {G} \operatorname {div} [\mathbf {F} ]$

(3)div とスカラー倍、ベクトル積

F,Gを、ベクトル場、fを、スカラー値関数とする。このとき、

$\operatorname {div} \left[f\mathbf {F} \right]=\left\langle \mathbf {F} |\operatorname {grad} [f]\right\rangle +f\operatorname {div} [\mathbf {F} ]$

ディラックのデルタと、重積分

一般のn変数関数（関数はベクトル値関数であってよい)fの定義域をΩとしたとき、

$f(\mathbf {r} )={\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }f(\mathbf {s} ){\delta }^{n}(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\ {d}^{n}s\ =f*{\delta }^{n}$

であることが知られている。ここで、上式の"*"は、合成積(乗算ではない)である。また、δⁿは、n変数のδ関数である。

発散微分とディラックのデルタ

原点(r=0)を除いて、

$\operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right]={\frac {3}{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {3{|\mathbf {r} |}^{2}}{{|\mathbf {r} |}^{5}}}=0$

であり、原点(r=0)を中心とする、球体BLに対し、ガウスの発散定理を用いると、

${\int }_{\mathbf {r} \in BL}\operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right]\ d^{3}r=4\pi$

となるので、結局、

$\operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right]=4\pi \delta (\mathbf {r} )$

であることが判る。(ここで、δは、3変数のδ関数である。
以上の議論を平行移動させると、

$\operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {s} }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]=4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )$

であることが判る。

分数関数の偏微分

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {s} _{i}}}\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]&={\frac {\partial }{\partial {s}_{i}}}\left[{\frac {1}{{(({r}_{i}-{s}_{i})^{2}+{\text{const.}})}^{1/2}}}\right]\\&={\frac {\partial }{\partial {s}_{i}}}\left[{(({r}_{i}-{s}_{i})^{2}+{\text{const.}})}^{-(1/2)}\right]\end{aligned}}$

面積分に関する補足

ここでは、様々なベクトル場の面積分についてまとめる。 「絶対値による面積分」「外積面積分」という用語は一般的な用語ではないが、他に 適切な表現がないため、この場限りでそのような言い方をする。 本記事内での定義は、それぞれ以下の通り。

Iを$\mathbb {R} ^{2}$の閉長方形、
$\varphi :I\to \mathbb {R} ^{3}$は、 Iの近傍で、殆ど至る所区分的に滑らかかつ、非退化であり、かつ、Iの内部で単射なベクトル値関数、
$S:=\varphi [I]$を、$\mathbb {R} ^{3}$内の曲面片とする。
また、Xを、Sの近傍で定義された、区分的に滑らかなベクトル場とする。このとき、

(1)普通の面積分

定義は、以下の通りである。

${\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\ {d}^{2}S:={\int }_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\langle \mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ |\ \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right)\rangle \ d{u}_{1}d{u}_{2}$

上式の右辺は、$({u}_{1},{u}_{2})$についてのスカラー値関数

$\langle \mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ |\ \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right)\rangle$

を、区間I上で重積分したものを意味する。今、Sの単位法線ベクトル${\mathbf {n} }_{S}$を、

${\mathbf {n} }_{S}:={\frac {1}{\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right|}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right)$

と定めると、

${\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\ {d}^{2}S={\int }_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\langle \mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ |\ {\mathbf {n} }_{S}\rangle \left|{\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right|\ d{u}_{1}d{u}_{2}$

である。

(2)絶対値による面積分

定義は、以下の通りである。

${\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\ |{d}^{2}S|:={\int }_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ \left|{\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right|\ d{u}_{1}d{u}_{2}$

本記事では、絶対値による面積分の場合は、$\ |{d}^{2}S|$のように、面素に絶対値記号をつけることにする。

右辺は、$({u}_{1},{u}_{2})$についてのベクトル値関数

$\mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ \left|{\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right|$

を、成分ごとに区間I上で重積分したものを意味する。即ち、絶対値による面積分は「関数の面積分を各成分ごとにやる」というのと同じ意味である。

(3)外積面積分

定義は、以下の通りである。

${\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\times {d}^{2}S:={\int }_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\left(\mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\right)\times \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right)\ d{u}_{1}d{u}_{2}$

本記事では、外積面積分の場合は、$\times \ {d}^{2}S$のように、面素にの前に、×をつけることにする。

右辺は、$({u}_{1},{u}_{2})$についてのベクトル値関数

$\mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\times \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\right)$

を、成分ごとに区間I上で重積分したものを意味する。即ち、(2)との関係でいえば、

${\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\times {d}^{2}S={\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\times \mathbf {n} _{S}|{d}^{2}S|$

となる。