角速度

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/11 21:11 UTC 版)

定義

質点の位置ベクトルを $r$ 、速度ベクトルを $v$ とするとき、質点の原点まわりの角速度 $ω$ は

{\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{r^{2}}}{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}

と定義される。ここで $r$ は位置ベクトルの大きさ $| r |$ であり、 $\times$ はベクトル積を表す。この定義は以下のように示される。

時刻 $t$ と $t'$ における質点の位置ベクトルをそれぞれ $r$ 、 $r'$ とする。これらのなす角度を $φ$ とすれば

|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {r}}'|=r\,r'\sin \phi

である。時間の間隔 $Δt = t' - t$ が小さいときに

{\boldsymbol {r}}'={\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {v}}\Delta t+O(\Delta t^{2})

r'=r+O(\Delta t)

\sin \phi =\omega \Delta t+O(\Delta t^{2})

であることから、ベクトル積に関する恒等式 $r \times r \equiv 0$ を用いれば

|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|\Delta t+O(\Delta t^{2})=r^{2}\omega \Delta t+O(\Delta t^{2})

が得られ、上式両辺における $Δt$ の1次の項を比較して

|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|=r^{2}\omega

が導かれる。回転角 $φ = ω Δt$ の向きを回転軸の方向（すなわち右ねじの進む方向）に一致するように定めると^[3]、定義式が導かれる。

^ 物理学などの文献においては、文脈上紛れがない限り、単に「次元」と呼ばれる。
^ 速度の次元は長さ L に時間 T の逆数を掛けた L⋅T⁻¹ である。
^ z軸周りの回転運動を表わす角速度はz軸成分しかもたないため、真にベクトルであるならばx-z面を鏡映面とする鏡映反転により不変に保たれるはずであるが、鏡映反転により回転運動の方向は反転されるため、z軸成分の符号が反転する。
^ より高次元の空間を含む $n$ 次元空間に対して統一的に使える方法としては、自由度 $1 / 2 n (n - 1)$ の二階反対称テンソルとして表わす方法がある。

^ 江沢 2005, p. 42, §6 曲線運動.
^ 例えば $ω$ について江沢 2005, p. 42、新井 2003, p. 167 など。 $Ω$ について江沢 2005, p. 254、ランダウ & リフシッツ 1974, p. 121 など。後者は特に運動座標系に対する一般の角速度に対して用いられている。
^ ランダウ & リフシッツ 1974, p. 21, §9 角運動量.