立体立体の概要

立体の例: 球体, 角錐, 立方体, トーラス体, 中空円筒（ドイツ語版）, 円柱, 円錐, 結ばれたトーラス体

定義

図形を数学的に定義する方法は様々だが、三次元空間を点の集合（ドイツ語版）と考えるならば、その特別な性質を持つ点からなる部分集合が立体であるということになる。

空間幾何学で扱われる立体は、三次元空間の有界な三次元部分空間であって、その境界となる曲面が有限個の有限の面積を持つ平面または曲面をそれらの境界で貼り合せたものになっている。ここで集合が有界であるとは、それをすべて含むような十分大きな球体が存在することをいう。立体の境界上にある点全体の成す曲面を、その立体の表面と呼ぶ。立体の表面は空間を二つの互いに素な部分集合に分割し、そのうちで一つも直線（線分ではない）を含まないほうをその立体の内部と定める^[1]。

幾何学的モデル論（英語版、ドイツ語版）における立体は、三次元空間の有界かつ閉な部分集合であって、その内部の閉包が自身に等しいものを言う。与えられた集合がその境界をすべて含むとき完備であると言い、また与えられた集合を全く含む最小の閉集合をその集合の完備化というので、先の立体の条件の三つ目は立体が三次元空間において完備である（低次の領域につぶれていない）ことを保証するものである。これを立体の正則性あるいは一様性と呼ぶことがある。この定義のもとでは、立体は複数の連結成分を持ち得る^[2]^[3]。立体の表面が複数の連結成分からなることもある。いずれにせよそれらの面に向きが与えられていれば、立体をその表面によって記述することができる。それを立体の境界表現（ドイツ語版）ということがある。