確率分布 変数変換

確率分布

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/03/24 05:18 UTC 版)

変数変換

確率変数の変数変換による新しい変数の密度関数は、元の変数の密度関数で書くことができる。この公式は重積分における変数変換とほぼ同様である。

確率密度関数の変数変換公式

から への変換 T により、 値確率変数 XY

と書けているとすると、Y確率密度関数X の確率密度関数を用いて

となる。ただし Jヤコビアンとする。

例えばボックス-ミューラー変換(0, 1]2 上の一様分布に従う確率変数 X = (X1, X2)

によって変換する。X の密度関数は

であり、上の公式を当てはめると Y の確率密度関数は

となり、Y が二次元の標準正規分布に従うことが分かる。このように単純な分布を持つ変数を変換して、複雑な分布を作る操作は計算機による乱数の生成で重要となる。

確率変数の和の確率分布

2つの確率変数 XY の和 X + Y の確率分布や差 XY の確率分布は変数変換公式により計算できる。特に XY独立で、確率密度関数がそれぞれ fXfY だったとすると、和と差の確率密度関数は

となる。

特に和の確率密度関数は2つの分布の確率密度関数の畳み込みである。また、特性関数は確率密度関数のフーリエ変換であり、畳み込みのフーリエ変換は周波数領域における積であることから、和の特性関数は2つの分布の特性関数の積となる。

なお、確率変数の和の確率分布が元の分布族に従う場合、その分布は再生性があるという。


出典

  1. ^ JIS Z 8101-1 : 1999, 1.3 確率分布.
  2. ^ Klenke, Achim (2014). Probability Theory: A Comprehensive Course (Second ed.). Springer. p. 41. ISBN 978-1-4471-5360-3. "We write if and say that has distribution ." 
  3. ^ a b JIS Z 8101-1 : 1999, 1.4 2次元分布関数.
  4. ^ JIS Z 8101-1 : 1999, 1.6 周辺分布.
  5. ^ 今野 1995, 第1章パーコレーションのモデル.
  6. ^ 今野 1995, 第2章分岐過程.
  7. ^ 今野 1995, 第4章無限粒子系.
  8. ^ 今野 1995, 第5章その他のモデル.

注釈

  1. ^ 標本点あるいは結果 (確率論)のこと






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