無限 無限大記号の由来

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無限

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/24 21:59 UTC 版)

無限大記号の由来

「ウロボロスが由来となっている。」や、「ジョン・ウォリスが無限大の記号として採用したのが最初である。」などの説が存在するが、「ローマ数字のↀ(CIƆ)が変化したものである。」という説が有力とされている。

超限数

ドイツの数学者ゲオルク・カントールは、無限には異なる種類があることを見出し、これを超限数と名付けた。現代数学では濃度の概念で捉えられる。

超限数は $\aleph$（アレフ）の記号を用いて表記され、最も濃度が小さいものは $\aleph _{0}$（アレフ・ヌル、またはアレフ・ゼロ）で表される。$\aleph _{0}$ の次に大きい濃度を持つ集合の濃度は $\aleph _{1}$ で表され、以後同様に $\aleph _{2}$ 等が定義される。一方、濃度 $\kappa$ を持つ集合の冪集合の濃度は $2^{\kappa }$ で表されるが、この濃度が常に $\kappa$ より真に大きくなることがカントールにより証明されている。

自然数全体の集合 N の濃度は $\aleph _{0}$ である。整数全体の集合 Z や有理数全体の集合 Q の濃度も $\aleph _{0}$ であり、この無限を可算無限と呼ぶ。$2^{\aleph _{0}}$ の濃度を持つ集合としては実数全体の集合 R がある。

カントールは、$\aleph _{0}$ より濃度が大きく $2^{\aleph _{0}}$ より濃度が小さい無限は存在しない、つまり、$2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$ が成り立つという仮説（連続体仮説）を立てたが、これを証明することはできなかった。連続体仮説は、現在では通常の数学の体系からは「証明も反証もできない」ことが証明されている。

デデキント無限

ある集合が自身と対等な（すなわち同じ濃度を持つ）真部分集合が存在するとき、その集合はデデキント無限であるという。デデキント無限でない集合はデデキント有限であるという。デデキント無限集合は常に無限集合であるが、その逆を証明するには弱い形の選択公理が必要である。無限集合が、デデキント無限集合であるということと、可算無限部分集合を持つことは同値である。