点付き空間 点付き空間の概要

点付き空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/07/17 21:21 UTC 版)

ナビゲーションに移動 検索に移動

点付き空間の間の点付き写像 (based map)[1] とは、基点を保つ連続写像のことを言う。すなわち、点付き空間 (X, τX, x0) から (Y, τY, y0) への点付き写像とは、写像 f: XY が各空間の位相 τX, τY に関して連続で、f(x0) = y0 を満たすときに言い、それをふつうは

f: (X, x0) → (Y, y0)

のように書く。点付き空間は代数的位相幾何学、特にホモトピー論において重要であり、そこでは基本群などの様々な構成が、基点の選び方に依存して定まる。

点付き集合の概念は、点付き離散空間に他ならないから、重要性はやや落ちる。

点付き空間はしばしば、部分集合が一点集合であるような相対位相の特別の場合ととられる。そうすればホモトピー論の大部分は点付き空間上でふつうに展開でき、相対位相を代数的位相幾何学に持ち込むことができる。

点付き空間の圏

すべての点付き空間のなす Top は基点を保つ連続写像(点付き写像)をとしてを成す[2]。この圏を得る別の方法として、コンマ圏 (1Top) と考えてもよい(ただし、1 = {•} は任意の一点空間で、Top位相空間の圏である)。これはまた余スライス圏英語版 1/Top でもある。この圏の対象は、連続写像 1X である(このような射は X から基点を選び出すことと理解できる)。圏 (1Top) における射は、Top における射であって、以下の図式

可換にするものになる。

この図式の可換性が f が基点を保つという条件と同値であることを見るのは容易い。

点付き空間としての 1 = {•} は点付き空間の圏 Top における零対象であるが、位相空間の圏 Top で考えれば終対象にしかならない。

どの点が基点であるかを「忘れる」ことにより、忘却函手英語版 TopTop が得られる。この函手は左随伴を持ち、それは各位相空間 X に対して X に形式的な基点となるべき一点からなる一点空間 {•}位相的直和によって付け加える函手になる。

点付き空間の構成法

  • 点付き空間 X部分空間(部分点付き空間)とは、部分位相空間 AXX と基点を共有するものを言う。つまり包含写像 AX が基点を保つ写像を成す。
  • 点付き空間 X の任意の同値関係による点付き商空間は、通常の商位相空間に基点として X の基点の商写像による像を選んだものを言う。
  • 二つの点付き空間 (X, x0), (Y, y0)直積とは、直積位相空間 X × Y に基点 (x0, y0) をとったものである(これは圏論的直積になる)。
  • 点付き空間の圏における余積は、基点に関する楔和(一点和[3]で与えられる。
  • 二つの点付き空間のスマッシュ積は本質的に、直積と一点和のである。注目すべきは、スマッシュ積を備えた点付き空間の圏は 零次元球面 を単位対象とする対称モノイド圏英語版とすることができることである。一般の位相空間の圏では結合性の条件が満たされないのでこのようにはできない(が、適当な制限を加えた空間、例えばコンパクト生成英語版弱ハウスドルフ空間英語版の圏などでは、やはりできる)。
  • 点付き空間 X約懸垂 ΣX とは、X と点付き円周 S1 との(同相除く)スマッシュ積を言う。
  • 約懸垂をとる操作は、点付き空間の圏上の自己函手である。この函手は、各点付き空間 X をそのループ空間英語版 ΩX へ送る函手 Ω に対する左随伴である。

注釈

出典




「点付き空間」の続きの解説一覧


英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「点付き空間」の関連用語

点付き空間のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



点付き空間のページの著作権
Weblio 辞書情報提供元は参加元一覧にて確認できます。

  
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアの点付き空間 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。

©2020 Weblio RSS