極限 関数列の収束

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極限

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 09:32 UTC 版)

関数列の収束

$I\subset \mathbb {R} ,\;f_{n},f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ とする。

{f_n} が f に I 上各点収束するとは、

$\forall \varepsilon >0,\forall x\in I,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n\geq n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon {\bigg ]}$

が成り立つことである。これは、

各 $x\in I$ に対して、$|f_{n}(x)-f(x)|\rightarrow 0\quad (n\rightarrow \infty )$

と同値である。これを各点収束の定義とすることもある。

{f_n} が f に I 上一様収束するとは、次が成り立つことである：

$\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall x\in I,\forall n\in \mathbb {N} {\bigg [}n\geq n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon {\bigg ]}$

これは、

$\|f_{n}-f\|_{\infty }:=\sup _{x\in I}|f_{n}(x)-f(x)|\rightarrow 0\quad (n\rightarrow \infty )$

と同値である。上で定義したノルムをスープノルム（または無限大ノルム、上限ノルム）と言う。スープノルムの収束をもって一様収束を定義することもある。

また、区間 I の任意のコンパクト集合上一様収束することを広義一様収束という。I の任意の有界閉区間上一様収束することを広義一様収束ということもある。

定義より、「f_n が I 上一様収束⇒f_n が I 上各点収束」が成り立つ（逆は必ずしも成り立たない）。関数の一様収束性は、lim と ∫ の順序交換や、函数項級数の項別積分や項別微分の可能性を保証する（逆に言えば、一様収束が保証されていない段階では、勝手に lim と ∫ の順序を交換したりなどしてはいけない）。

関数の一様収束性を証明するには、上のようにスープノルムの収束を示すのが一般的である。関数項級数の一様収束性ではワイエルシュトラスのM判定法も用いられる。