出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/05/05 03:34 UTC 版)
分数表現との関係 無限小数は、厳密には極限 の概念を用いて定義される。特に、循環小数が表す数は無限等比級数、すなわち等比数列 の和の極限と見なすことができ、ゆえに有理数である。例えば、
2.
4
˙
2
3
˙
=
2
+
423
10
3
+
423
10
6
+
423
10
9
+
⋯
=
2
+
423
10
3
−
1
=
2
+
47
111
=
269
111
{\displaystyle 2.{\dot {4}}2{\dot {3}}=2+{\frac {423}{10^{3}}}+{\frac {423}{10^{6}}}+{\frac {423}{10^{9}}}+\cdots =2+{\frac {423}{10^{3}-1}}=2+{\frac {47}{111}}={\frac {269}{111}}}
である。
一般には、冒頭の循環していない有限小数部分を分離し a とおき、循環部分の循環節の部分だけ取り出した小数部分を b 、循環節の長さを n とすれば
a
+
b
(
1
+
1
10
n
+
1
10
2
n
+
1
10
3
n
+
⋯
)
{\displaystyle a+b\left(1+{\frac {1}{10^{n}}}+{\frac {1}{10^{2n}}}+{\frac {1}{10^{3n}}}+\cdots \right)}
となる。ところで、級数部分の総和は
1
1
−
1
10
n
=
10
n
10
n
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {1}{10^{n}}}}}={\frac {10^{n}}{10^{n}-1}}}
であるから
a
+
b
(
10
n
10
n
−
1
)
{\displaystyle a+b\left({\frac {10^{n}}{10^{n}-1}}\right)}
となることが分かる。この方法をロバートソン (J.Robertson, 1712-1776) の方法という。
やや厳密さに欠ける説明として、以下のようなものがある。
x = 2.423423423…とおく。両辺を1000倍すると、「1000倍すると小数点は3桁右に移動するから」
1000x = 2423.423423… 辺々引くと「循環部分が打ち消しあって」
999x = 2421 となる。よって、x = 269 / 111
