原子間ポテンシャル 原子間ポテンシャルの概要

原子間ポテンシャル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/01/12 21:02 UTC 版)

原子間距離 rij に対して典型的な原子間ペアポテンシャルをプロットすると図のようになる。極小値の左側は斥力的 (repulsive)、右側は引力的 (attractive) な相互作用を表す。

関数形

原子間ポテンシャルは1つの原子位置の関数、もしくは2つ、3つ…の原子位置の組の関数を項とする級数展開で表すことができる。このとき系のポテンシャルの総和 VTOT は以下のように書ける[3]

ここで V1 は一体項、V2 は二体項、V3 は三体項を表し、N は系に含まれる原子の数、i 番目の原子の位置である。指標 i, j, k …の総和はすべての原子(の組)について行う。

対ポテンシャルが原子対ごとに与えられているなら、それに1/2をかけたものが級数展開の二体項となることに注意が必要である。さもなければ一つの対のポテンシャルが2回数えられてしまう。同じように三体項には1/6の係数がかかる[3]。あるいは、ポテンシャルの関数形が指標 i, j, k …の交換に対して対称である場合には、二体項の総和を i < j の場合のみに、三体項の総和を i < j < k の場合のみに限定する方法もある(原子の種類が複数ある場合にはこのような対称性が存在しないこともある)。

一体項は原子が外場(電場など)の中にある場合にのみ意味を持つ。外場がなければ、ポテンシャル V は個々の原子の絶対位置ではなく原子間の相対位置にのみ依存するはずである。それはつまり、ポテンシャルの表式を原子間距離 および結合角(ある原子から隣接する複数の原子に向けて引いたベクトルの間の角度)θijk の関数として書き換えられるということである。よって外力がない場合の一般形は以下のようになる。

3次元空間においてi, j, kの3原子の相対位置を確定するには rij, rjk, θijk の3項のみで十分であるため、上式の三体項 V3 に原子間距離 は含まれない。3次以上の全ての項は多体ポテンシャルとも呼ばれる。ある種の原子間ポテンシャルでは対アポテンシャルの中に多体相互作用が埋め込まれている(埋め込み原子型ポテンシャルおよび結合次数ポテンシャルについては後に論じる)。

原理的には、これらの数式に含まれる総和は N 個の原子すべてについて取る。しかし、原子間相互作用が及ぶ範囲が有限であるならば(すなわち、あるカットオフ距離 rcut より大きい r に対してポテンシャルが V(r) ≡ 0 なら)、総和はカットオフ距離より近い原子の組だけに限られる。またセル法によって隣接原子を選び出すことで[1]、MDシミュレーションの計算アルゴリズムのオーダーを O(N) にできる。ポテンシャルが無限の範囲ではたらく場合でも、エバルトの方法やその発展型によって総和を効率化することは可能である。

力の計算

原子間に働く力は全エネルギーを原子位置で微分することで求められる。すなわち、i 番目の原子が受ける力を知るには、原子 i の位置に関するポテンシャルエネルギーの勾配(それぞれの空間次元に関する導関数からなるベクトル)を次式のように求めればよい。

二体ポテンシャルにおいては、原子 i, j の交換に対してポテンシャル関数が対称であるため、上式の勾配は原子間距離 rij に関する単純な微分に帰着する。しかし、多体ポテンシャル(三体、四体…ポテンシャル)においては原子の交換に対する対称性が成立するとは限らないため微分ははるかに複雑である[11][12]。別の言葉で言うと、原子 i とは隣接していない原子 k のエネルギーもまた、角度などの多体項を通じて位置 に依存するかもしれず、したがって勾配 に寄与する場合がある。


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