単位分数 単位分数の概要

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単位分数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:03 UTC 版)

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …

である。

エジプト式分数など、単位分数に制限したときの数の性質がいくつか知られている。

初等算術

任意の2つの単位分数の積はまた、単位分数になる。

${\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.$

しかし、任意の2つの単位分数の和、差、商は一般には単位分数とはならない。

${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}$

${\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}$

${\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.$

合同算術

最大公約数の計算において、合同式の除法の計算を減らすため、単位分数は重要な役目を果たす。具体的には、法を y とし、値 x で除算をしたいとする。x で割るためには、xとyは互いに素でなければならない。次に、最大公約数のための拡張ユークリッドの互除法により、

$\displaystyle ax+by=1$

を満たす a, bが見つかる。それから、

$\displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}$

が分かる。あるいは同じことであるが、

$a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}$

である。従って、（y を法として）x によって割るためには、代わりに、a を掛ければよい。