勾配 (ベクトル解析) 勾配と全微分の関係

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勾配 (ベクトル解析)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/01/26 15:06 UTC 版)

勾配と全微分の関係

写像の線型近似

ユークリッド空間 Rⁿ から R への関数 f の、任意の点 x₀ ∈ Rⁿ における勾配は、x₀ における f の最適線型近似を特徴づけるものである。即ち、線型近似式は x₀ にほど近い x に対して

$f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})$

で与えられる。ここで (∇ f )_x0 は x₀ における f の勾配であり、中黒は Rⁿ におけるドット積である。この式は f の x₀ における多変数テイラー級数展開の最初の 2 項をとったものと同値である。

全微分

関数 f: Rⁿ → R の点 x ∈ Rⁿ における最適線型近似は、Rⁿ から R への線型汎関数であり、x における f の微分係数あるいは全微分係数 df_x, Df(x) と呼ばれる。従って勾配は全微分係数との間に

$(\nabla f)_{x}\cdot v=df_{x}(v)\quad (v\in \mathbb {R} ^{n})$

なる関係で結ばれている。x を df_x へ写す関数 df は f の全微分または全導関数と呼ばれ、これを一次微分形式と解釈して f の外微分と見做すこともできる。

Rⁿ を（長さ n で成分が実数値の）列ベクトル全体の成す空間と見るとき、全微分 df を行ベクトル

$df=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)$

と見做して、df_x(v) を行列の積で与えることができる。このとき、勾配は列ベクトル

$\nabla f={}^{t}(df)$

に対応する。

微分としての性質

U を Rⁿ の開集合とし、関数 f : U → R がフレシェ微分可能とすると、f の全微分は f のフレシェ導関数であり、従って ∇f は U から空間 R への写像で

$\lim _{h\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h\|}{\|h\|}}=0$

を満たすものである（中黒はドット積）。

この帰結として、勾配が通常の微分が持つ微分法則を満足することがわかる。

線型性

二つの実数値関数 f, g が点 a ∈ Rⁿ において微分可能で、α, β が実定数であるとき、線型結合 αf + βg は a において微分可能であり、さらに ∇(αf + βg)(a) = α∇f(a) + β∇g(a) を満たすという意味で、勾配は線型である。

積の微分法則

f と g が実数値関数で点 a ∈ Rⁿ において微分可能ならば、それらの積 (fg)(x) = f(x)g(x) は a において微分可能で、∇(fg)(a) = f(a)∇g(a) + g(a)∇f(a) なる積の法則を満たす。

連鎖律

Rⁿ の部分集合 A 上で定義された実数値関数 f : A → R が点 a において微分可能とする。勾配に関する連鎖律には 2 つの形が存在する。

1 つ目は、関数 g を曲線の媒介変数表示、即ち R の部分集合 I から Rⁿ への関数 g : I → Rⁿ とするとき、g が g(c) = a なる I の点 c で微分可能ならば、(f○g)'(c) = ∇f(a) · g'(c) が成立するというもの。ただし ○ は写像の合成である。より一般に、I ⊂ R^k である場合にも ∇(f○g)(c) = ^t(Dg(c))(∇f(a)) が成立する。ただし ^t(Dg) は転置関数行列である。

二つ目の連鎖律は、R の部分集合 I 上の実数値関数 h: I → R が f(a) ∈ I なる点において微分可能ならば ∇(h○f)(a) = h'(f(a))∇f(a) というものである。