共役類

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 08:51 UTC 版)

類等式

$G$ が有限群であれば、群の任意の元 $a$ に対して、 $a$ の共役類の元は中心化群 $C G (a)$ の剰余類と 1 対 1 の対応にある。このことは次のことを観察することによってわかる。同じ剰余類に属する任意の 2 元 $b$ , $c$ （したがって中心化群 $C G (a)$ のある元 $z$ に対して $b = zc$ ）は $a$ を共役するときに同じ元を生じる： $b -1 ab = (zc) -1 a (zc) = c -1 z -1 azc = c -1 ac$ .

したがって $a$ の共役類の元の数は $G$ における中心化群 $C G (a)$ の指数 $[G : C G (a)]$ である。したがって各共役類の元の数は群の位数を割り切る。

さらに、各共役類からひとつずつ代表元 $x i$ を選べば、共役類の非交性から $| G | = \sum i | x i G | = \sum i [G : C G (x i)]$ がいえる。中心 $Z (G)$ の各元はそれ自身だけを含む共役類をなすことに注意すれば、類等式 (class equation) を得る^[4]：

| G | = | Z (G)| + \sum i [G : C G (x i)]

ただし和は中心に含まれない各共役類からの代表元を渡る。

群の位数 $| G |$ の約数の知識は中心や共役類の元の数についての情報を得るためにしばしば使うことができる。

応用例

非自明な有限 $p$ -群 $P$ （つまり位数 $p n$ の群、ただし $p$ は素数で $n > 0$ ）を考えよう。類等式を使うと

「すべての非自明な有限

p

-群は非自明な中心をもつ」

ことが証明できる^[10]。

証明： $P$ の任意の共役類の元の数は $P$ の位数を割らなければならない。よって中心に含まれていない各共役類 $C i$ の元の数もまたあるベキ $p k i$ （ただし $0 < k i < n$ ）であることが従う。すると類等式から $p n = | P | = | Z (P)| + \sum i p k i$ となる。ゆえに $p$ は $| Z (P)|$ も割らなければならず、したがって $| Z (P)| > 1$ であることがわかる。

注釈

^ 行列に対して類似の関係を線型代数学では相似と呼ぶ。
^ これが意味するのは群の各元はちょうど1つの共役類に属し、類 $a G$ と $b G$ が等しいことと $a$ と $b$ が共役であることは同値であり、そうでなければ互いに素である。
^ 証明： $a = g -1 bg$ であれば、 $a k = (g -1 bg)(g -1 bg)...(g -1 bg) = g -1 b k g$ 。

出典

^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9
^ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X
^ Robinson 1996, p. 26.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Robinson 1996, p. 38.
^ Robinson 1996, p. 234.
^ Robinson 1996, p. 42.
^ Karpilovsky, G. (1992). Group Representations Vol. 1 Part B. North-Holland. pp. 936. ISBN 0-444-88632-X
^ Robinson 1996, p. 43.
^ Robinson, Derek J. S. (1972). Finiteness Conditions and Generalized Soluble Groups, Part 1. Springer-Verlag. pp. 129. ISBN 978-3-642-05713-7
^ Robinson 1996, p. 39.
^ 鈴木 1977, p. 11.