z¹⁹=1の解法
z¹⁹=1
z¹⁹-1=0
(z-1)(z¹⁸+z¹⁷+...+z³+z²+z+1)=0
だから，
z¹⁸+z¹⁷+...+z³+z²+z+1=0
の解を求める
z_k (k=1〜18の複素数解)
を
α=z₁+z₈+z₇+z₁₈+z₁₁+z₁₂
β=z₂+z₁₆+z₁₄+z₁₇+z₃+z₅
γ=z₄+z₁₃+z₉+z₁₅+z₆+z₁₀
の3グループにわける。
ηk=zk+z[19-k]
おく。
そうすると
α=η₁+η₈+η₇
β=η₂+η₃+η₅
γ=η₄+η₉+η₆
となる。
そうすると
α+β+γ=-1
αβ+βγ+γα=-6
αβγ=7
となるので，
このα,β,γは、
x³+x²-6x-7=0
の解である。
y=x+1/3 と変換して
y³-19y/3-133/27=0
3次方程式の解の公式をつかって
yの値がわかるので，xの値もわかる。
これより
α,β,γの値もわかる。
また
η₁+η₈+η₇=α
η₁η₈+η₈η₇＋η₇η₁=-1-β
η₁η₈η₇=2+β
より
η₁,η₈,η₇も3次方程式の解になっているので、これも求まる。
そうすると
例えば η₁ がわかり、η₁=z₁+1/z₁ より z₁の値が求まる。
詳しいやり方は，以下のpdfファイルをみてください。
https://drive.google.com/file/d/1OPlw9ERRDWy6rzkbfThH9O9AEkxVjPly/view?usp=sharing