論理記号の一覧

論理記号の一覧（ろんりきごうのいちらん）では、論理学における記号について解説する。論理記号は、当学問分野で広く論理的表現を表すのに用いられている。

以下の表は多くの一般的な記号について、それらの名称と読み方、数学における関連分野について記している。加えて、非形式的な定義と単純な例を示す。そしてUnicodeにおける符号位置や文字参照、LaTeXで使用可能なコマンドを記している。

基礎的な論理記号[編集]

記号	名称 / 読み方		Unicode	文字参照	実体参照	LaTeXコマンド
	説明
	例
⇒	実質含意	含む; もし～ならば	U+21D2	⇒	⇒	$\Rightarrow$ \Rightarrow $\implies$ \implies
⇒	古典論理においては、 $A$ が偽または $B$ が真であるとき、 $A \Rightarrow B$ を真とする。直観主義論理においては、 $A$ を前提として $B$ が証明できるとき、 $A \Rightarrow B$ を真とする。どの記号を使うかは文献による。		U+21D2	⇒	⇒	$\Rightarrow$ \Rightarrow $\implies$ \implies
→			U+2192	→	→	$\to$ \to
→	例： $x = 2 \Rightarrow x 2 = 4$ は真である。ただし $x 2 = 4 \Rightarrow x = 2$ は一般に偽である（ここで $x$ は -2 の可能性もある）。		U+2192	→	→	$\to$ \to
⊃			U+2283	⊃	⊃	$\supset$ \supset
⇔	実質等値	～のとき、かつそのときに限り; iff;	U+21D4	⇔	⇔	$\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\iff$ \iff
⇔	「 $A \Leftrightarrow B$ 」は、 $A$ と $B$ が共に真、または共に偽のときのみ真となる。		U+21D4	⇔	⇔	$\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\iff$ \iff
≡	「 $A \Leftrightarrow B$ 」は、 $A$ と $B$ が共に真、または共に偽のときのみ真となる。		U+2261	≡	&equiv;	$\equiv$ \equiv
≡	例： $x + 5 = y + 2 \Leftrightarrow x + 3 = y$		U+2261	≡	&equiv;	$\equiv$ \equiv
↔	例： $x + 5 = y + 2 \Leftrightarrow x + 3 = y$		U+2194	↔	↔	$\leftrightarrow$ \leftrightarrow
¬	否定	～ではない	U+00AC	¬	¬	$\lnot$ \lnot $\neg$ \neg
¬	言明「 $\neg A$ 」は $A$ が偽のときのみ真となる。演算子の上に置かれたスラッシュは、否定記号 ¬ が演算子の前に置かれているのと同じく、その演算子の否定を意味する。		U+00AC	¬	¬	$\lnot$ \lnot $\neg$ \neg
˜			U+02DC	˜	&tilde;	${\tilde {}}$ \tilde{}
˜	例： $\neg(\neg A) \Leftrightarrow A$ , $x \neq y \Leftrightarrow \neg(x = y)$		U+02DC	˜	&tilde;	${\tilde {}}$ \tilde{}
!			U+0021	!	&excl;
記号	名称 / 読み方		Unicode	文字参照	実体参照	LaTeXコマンド
	説明
	例
∧	論理積	かつ (and)	U+2227	∧	&and;	$\land$ \land $\wedge$ \wedge
∧	言明「 $A \land B$ 」は、 $A$ と $B$ が共に真であるときのみ、真である、他の場合は偽。		U+2227	∧	&and;	$\land$ \land $\wedge$ \wedge
·			U+00B7	·	·	$\cdot$ \cdot
⋅			U+22C5	⋅	⋅
⋅	例： $n < 4 \land n > 2 \Leftrightarrow n = 3$ （ $n$ が自然数であるとき）		U+22C5	⋅	⋅
&			U+0026	&	&	$\&$ \&
∨	論理和	または (or)	U+2228	∨	&or;	$\lor$ \lor $\vee$ \vee
∨	言明「 $A \lor B$ 」は、 $A$ または $B$ のいずれか（または両方）が真のとき、真である; そして両方が偽のときは、偽。		U+2228	∨	&or;	$\lor$ \lor $\vee$ \vee
+			U+002B	+	-
+	例： $n \geq 4 \lor n \leq 2 \Leftrightarrow n \neq 3$ （ $n$ が自然数であるとき）		U+002B	+	-
∥			U+2225	∥	-	$\parallel$ \parallel
⊕	排他的論理和	xor	U+2295	⊕	&oplus;	$\oplus$ \oplus
⊕	言明「 $A \oplus B$ 」は、 $A$ または $B$ のいずれか（両方ではない）が真のとき、真となる。「 $A ⊻ B$ 」も意味は同じ。		U+2295	⊕	&oplus;	$\oplus$ \oplus
⊻			U+22BB	⊻	-	$\veebar$ \veebar
⊻	例： $(\neg A) \oplus A$ は常に真である。 $A \oplus A$ は常に偽である。		U+22BB	⊻	-	$\veebar$ \veebar
⊤	トートロジー	トップ	U+22A4	⊤	-	$\top$ \top
⊤	言明「 $⊤$ 」は無条件に真である。		U+22A4	⊤	-	$\top$ \top
T	言明「 $⊤$ 」は無条件に真である。		U+0054	T	-
T	例： $A \Rightarrow ⊤$ は常に真。		U+0054	T	-
1	例： $A \Rightarrow ⊤$ は常に真。		U+0031	1	-
⊥	矛盾	ボトム	U+22A5	⊥	-	$\bot$ \bot
⊥	言明「 $⊥$ 」は無条件に偽である。		U+22A5	⊥	-	$\bot$ \bot
F	言明「 $⊥$ 」は無条件に偽である。		U+0046	F	-
F	例： $⊥ \Rightarrow A$ は常に真。		U+0046	F	-
0	例： $⊥ \Rightarrow A$ は常に真。		U+0030	0	-
記号	名称 / 読み方		Unicode	文字参照	実体参照	LaTeXコマンド
	説明
	例
∀	全称量化	すべての; 任意の; それぞれについて	U+2200	∀	∀	$\forall$ \forall
	「 $\forall x : P (x)$ 」は、すべての $x$ について $P (x)$ が真であることを意味する。
	例： $\forall n . n 2 \geq n$ . (算術の言語および公理系において)
∃	存在量化	～が存在する	U+2203	∃	∃	$\exists$ \exists
	「 $\exists x : P (x)$ 」は、 $P (x)$ を満たす $x$ が少なくとも1つは存在することを意味する。
	例： $\exists n . n が偶数$ .
∃!	唯一存在量化（英語版）	～がただ1つ存在する	U+2203 U+0021	∃!	-	$\exists !$ \exists!
	「 $\exists! x : P (x)$ 」は、 $P (x)$ を満たす $x$ がただ1つ存在することを意味する。
	例： $\exists! n . n + 5 = 2 n$ .
記号	名称 / 読み方		Unicode	文字参照	実体参照	LaTeXコマンド
	説明
	例
≔	定義	～として定義される	U+2254	≔	-	${{\mathrel {\mathop {:} }}\!\!}=$ \coloneqq^{[注釈 1]}
≔	「 $x ≔ y$ 」や「 $x \equiv y$ 」は、 $x$ は $y$ の別名として定義されることを意味する。 (ただし「≡」は、単なる一致も意味する）「 $P :\Leftrightarrow Q$ 」は、 $P$ が $Q$ と論理的に等価に定義されることを意味する。
≡			U+2261	≡	&equiv;	$\equiv$ \equiv
≡	例： $cosh x ≔ (1/2)(exp x + exp (- x))$ $A XOR B :\Leftrightarrow (A \lor B) \land \neg(A \land B)$		U+2261	≡	&equiv;	$\equiv$ \equiv
:⇔			U+003A U+229C	:⊜	:⇔	$:\Leftrightarrow$ :\Leftrightarrow
( )	優先順位	括弧	U+0028 U+0029	( )	∃	$()$ ()
	括弧内の操作を優先して実行する。
	例： $(8 \div 4) \div 2 = 2 \div 2 = 1$ , 一方で $8 \div (4 \div 2) = 8 \div 2 = 4$ .
⊢	ターンスタイル（英語版）	～を証明する	U+22A2	⊢	-	$\vdash$ \vdash
	「 $x ⊢ y$ 」は $x$ から $y$ が形式的に証明されることを意味する。
	例： $A \to B ⊢ \neg B \to \neg A$
⊨	ダブル・ターンスタイル（英語版）	～を含意する	U+22A8	⊨	-	$\vDash$ \vDash
	「 $x ⊨ y$ 」は $x$ が $y$ を含意することを意味する。
	例： $A \to B ⊨ \neg B \to \neg A$
記号	名称 / 読み方		Unicode	文字参照	実体参照	LaTeXコマンド
	説明
	例

その他の論理記号[編集]

以下では、発展的または稀に用いられる論理記号について述べる。

$\cdot$: オーバーラインの引かれた中点は否定論理積 NAND を表す。 $A \cdot B$ は $\neg (A & B)$ と等価。
オーバーライン: 数式の上に引かれたオーバーラインは、ゲーデル数を表すことがある。例えば $A \lor B$ は、論理式 $A \lor B$ のゲーデル数を意味する。; またオーバーラインで否定を表すこともある。例えば $A \lor B$ は、 $\neg(A \lor B)$ と等価。
U+007C | vertical line
U+2191 ↑ upwards arrow
U+22BC ⊼ nand: シェファーの棒記号 (Sheffer stroke) とも呼ばれ、否定論理積 NAND 演算子である。
U+2193 ↓ downwards arrow
U+22BD ⊽ nor: パースの矢印 (Peirce arrow) とも呼ばれ、否定論理和 NOR 演算子である。
U+2201 ∁ complement: 集合論において補集合を表す。例えば、全体集合が了解されている集合 $A$ について、その補集合は $\complement A$ と表される。
U+2204 ∄ there does not exist: 斜線の引かれた存在量化子は、 $\neg\exists$ と等価である。すなわち存在の否定を意味する。
U+2234 ∴ therefore: 「故に、従って (therefore)」を意味する。
U+2235 ∵ because: 「なぜならば (because)」を意味する。
U+22A7 ⊧ models: 左辺が右辺のモデルであることを意味する2項演算子。例えば理論 $T$ について「 $M ⊧ T$ 」は、 $M$ が $T$ のモデルであることを意味する^[1]。
U+22A8 ⊨ true: 右辺が左辺の論理的帰結であることを意味する2項演算子。例えば理論 $T$ と論理式 $φ$ について「 $T ⊨ φ$ 」は、 $φ$ が $T$ の論理的帰結である、すなわち $φ$ が $T$ の定理であることを意味する。; また「論理的に正しい」ことを意味する前置演算子。「 $\emptyset ⊧ φ$ 」を「 $⊧ φ$ 」と略記する、ここで $\emptyset$ は空集合^[1]。
U+22AC ⊬ does not prove: 「証明不可能」を意味する。例えば理論 $T$ と論理式 $φ$ について「 $T ⊬ φ$ 」は、 $T$ から $φ$ が証明不可能である、すなわち $φ$ は $T$ の定理ではないことを意味する。
U+22AD ⊭ not true: U+22A8 ⊨ true の否定。
U+22C6 ⋆ star operator: アドホックな演算子について用いられる。
U+231C ⌜ top left corner
U+231D ⌝ top right corner: 角引用符 (corner quotes) は「クワインの引用符」または「疑似引用符」(quasi-quotation) と呼ばれ、ゲーデル数を意味する。例えば論理式 $φ$ について「 $⌜ φ ⌝$ 」は、ゲーデル数化された $φ$ を意味する^[2]。

脚注[編集]

[脚注の使い方]

注釈[編集]

^ mathtools パッケージの導入が必要

出典[編集]

^ ^a ^b 新井 2011, p. 23.
^ 田中 2007, pp. 78–79.

参考文献[編集]

新井敏康『数学基礎論』岩波書店、2011年5月19日。ISBN 978-4-00-005536-9。
田中一之編『ゲーデルと20世紀の論理学 3 不完全性定理と算術の体系』東京大学出版会、2007年3月1日。ISBN 978-4-13-064097-8。